\(R^{2}\)上の線形変換fによって
f(1)=(2), f( 1)=( 0)
(1) (0) (-1) (-2)
とするとき、次の問に答えよ。
①基本ベクトルe1,e2に対してf(e1),f(e2)を求めよ。
②基底{e1,e2}に関してfに対応する行列Aを求めよ。
③任意のベクトル(x)のfによる像はどのようなベクトルか
(y)
④a1=(1),a2=( 1)を\(R^{2}\)の基底として選ぶときfに対応する行列Bを求めよ。
(1) (-1)
どのようにして求めるのかが分かりません。よろしくお願いします。
★希望★完全解答★
①
f(1)=(2), f( 1)=( 0)
(1) (0) (-1) (-2) だから
f(1 1)=(2 0)
(1 -1) (0 -2)
よって
f=(2 0)(1 1)^(-1)=(-\(\frac{1}{2}\))(2 0)(-1 -1)
(0 -2)(1 -1) (0 -2)(-1 1)
=( 1 1)
(-1 1)
∴f(e1)=( 1),f(e2)=(1)
(-1) (1) …答
[別解(こちらが出題者の意図でしょう)]
f(1)=f(e1+e2)=f(e1)+f(e2)=(2),
(1) (0)
f( 1)=f(e1-e2)=f(e1)-f(e2)=( 0)
(-1) (-2)
ここから、f(e1),f(e2)を求めます
② ①より A=( 1 1)
( 1 1) …答
③ f(x)=( 1 1)(x)=( x+y)
(y) (-1 1)(y) (-x+y) …答
④ すみません、私は高校までしか習ってないので、基底変換した時に
対応する行列の意味が分かっていません(^^;;
ですから、ここからは推測です
g(e1)=a1,g(e2)=a2 なるgを考えると
g(e1 e2)=gE=(a1 a2) だから
g=(a1 a2)
よって B=g(f)=(1 1)( 1 1)=(0 2) …答
(1 -1)(-1 1) (2 0)
