問１
a≠ｂ≠ｃ≠a,\(a^{3}\)+2a=\(b^{3}\)+2b=\(c^{3}\)+2cのとき
a+b+c=0,ab+bc+ca=2であることを証明せよ。
問２
p,qは、p+q=1(0≦ｐ≦1)をみたしている。
関数ｆ(ｘ)＝ｘ＾２について、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
f(px+qy)≦p・f(x)+q・ｆ(y)
おねがいします。
問１
ｘ3 ＋２ｘ＝０の３解をａ，ｂ，ｃ（ａ≠ｂ≠ｃ）とすると、
（ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）（ｘ－ｃ）＝０
ｘ3 －（ａ＋ｂ＋ｃ）ｘ2 ＋（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）ｘ－ａｂｃ＝０
係数を比べて、
ａ＋ｂ＋ｃ＝０、ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝２ ……（答）
問２
ｚ＝ｐｘ＋ｑｙとおくと、ｐ＋ｑ＝１（０≦ｐ≦１）より、
ｐｘ＋ｑｙ
ｚ＝───── と書ける。
ｑ＋ｐ
したがって、ｘｙ間をｑ：ｐに内分する点にｚがある。
これは、関数ｆ（ｘ）＝ｘ2 より、ｆ（ｚ）＝ｆ（ｐｘ＋ｑｙ）となる。
比例関係より、ｆ（ｘ）とｆ（ｙ）間もｑ：ｐに内分する点ができる。
これをａとすると、
ｐ・ｆ（ｘ）＋ｑ・ｆ（ｙ）
ａ＝─────────────＝ｐ・ｆ（ｘ）＋ｑ・ｆ（ｙ）
ｑ＋ｐ
関数ｆ（ｘ）＝ｘ2 は下に凸なので、図より
ａ≧ｆ（ｚ）
となる。（等号はｐ＝０または１のとき）
したがって、
ｆ（ｐｘ＋ｑｙ）≦ｐ・ｆ（ｘ）＋ｑ・ｆ（ｙ） ……（答）