マクローリン展開から
\(e^{x}\)=1+x+(\(\frac{1}{2}\)!)\(x^{2}\)+(\(\frac{1}{3}\)!)\(x^{3}\)+・・・・
x=1のとき
1+1+(\(\frac{1}{2}\)!)+(\(\frac{1}{3}\)!)+・・・・・・=e
よって
1+(\(\frac{1}{2}\)!)+(\(\frac{1}{3}\)!)+・・・・・・=e-1
1+(\(\frac{1}{2}\)!)+(\(\frac{1}{3}\)!)+・・+(\(\frac{1}{n}\)!)<1+(\(\frac{1}{2}\)!)+(\(\frac{1}{3}\)!)+・・・
=e-1＜2
(∵e=2.718・・・・・)

\(\frac{1}{1}\)!+\(\frac{1}{2}\)!+\(\frac{1}{3}\)!+・・・+\(\frac{1}{n}\)!

＜1+\(\frac{1}{2}\)+(\(\frac{1}{2}\)\()^{2}\)+(\(\frac{1}{2}\)\()^{3}\)+・・・・+(\(\frac{1}{2}\))^[n-1]
初項が1で公比\(\frac{1}{2}\)の等比数列の和

＜lim[n→∞]∑[k=1,n](\(\frac{1}{2}\))^[n-1]
初項が1で公比\(\frac{1}{2}\)の無限等比数列の和

＝2

となり、題意は示された。

こんにちは。

（ 答案 ）
いま、
１／ｋ！＝（１／１）*（１／２）*（１／３）*…*（１／ｋ）
＜（１／１）*（１／２）*（１／２）*…*（１／２）
＝１／２＾（ｋ－１）
このとき、
与式左辺＝（１／１！）＋（１／２！）＋（１／３！）＋…＋（１／ｎ！）
＜１＋（１／２＾１）＋（１／２＾２）＋（１／２＾３）＋…＋｛１／２＾（ｎ－１）｝
＝１＋[１－｛１／２＾（ｎ－１）｝]
＜２

のようにして見ました。