「ファクシミリの原理」というのは初耳でしたが、恐らくは
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ファクシミリ(スキャナ等)が、平面を縦に細長く分割して、
その一本一本の線毎に読み取りを行い、全面の図形を把握するように、
グラフや領域の形状を調べる時に、x軸もしくはy軸に平行な
直線を各所に配置して、その直線での図形の切り口を見ていく方法。
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の事を指すのでしょうね。
※参照　http://edu.casio.j\(\frac{p}{c}\)a\(\frac{l}{c}\)lassroo\(\frac{m}{h}\)ig\(\frac{h}{k}\)oman\(o_{1}\).html

この問題、y=2px+\(p^{2}\)+1 ( |p|≦1 ) が通過する領域を調べる例で言うと、

　y軸に平行な直線、x=t と、y=2px+\(p^{2}\)+1 の交点は、(t,2pt+\(p^{2}\)+1) となる。
　この y 座標を f(p) と置くと、
　　f(p)=\(p^{2}\)+2tp+1=(p+t\()^{2}\)+1-\(t^{2}\)

　この f(p) に関して、p が |p|≦1 の範囲を動く時の値の範囲は、
　　t＜-1 であれば、f(1)≦f(p)≦f(-1)
　　　すなわち、2t+2≦f(p)≦-2t+2
　　-1≦t＜0 であれば、f(-t)≦f(p)≦f(-1)
　　　すなわち、1-\(t^{2}\)≦f(p)≦-2t+2
　　0≦t＜1 であれば、f(-t)≦f(p)≦f(1)
　　　すなわち、1-\(t^{2}\)≦f(p)≦2t+2
　　1≦t であれば、f(-1)≦f(p)≦f(1)
　　　すなわち、-2t+2≦f(p)≦2t+2
　※これは、二次関数の値の範囲を、場合分けつきで調べる問題

　よって、求める領域は、
　　x＜-1 の時、2x+2≦y≦-2x+2
　　-1≦x＜0 の時、1-\(x^{2}\)≦y≦-2x+2
　　0≦x＜1 の時、1-\(x^{2}\)≦y≦2x+2
　　1≦x の時、-2x+2≦y≦2x+2
　図示すると、
　　http://r0000.tm.land.t\(\frac{o}{m}\)at\(\frac{h}{m}\).php?s=t%29x=0.\(\frac{065}{c}\)os%28t%29,
y=%280.065*tan%28t%29%2B1%29*2brx%29y=1-x*x&gx0=-8&gx1=8&gy0=-8&gy1=8
　のグラフで、赤い×(2直線)の左右の領域と、赤い×の下で青い放物線の上の領域を
合わせた物。(境界含む)

ちょうど、x=t という直線形の読み取りヘッドを動かして、領域の断面をずっと
調べていくようなイメージになりますね。