この問題に関しては、あまり自信がないので、質問された方にお願いがあります。
これを読んで正しいか確認してください。間違っていたら、教えてください。
そのときは、もう一度チャレンジしてみます。

それと、どこの長さがLなのかよくわからなかったので、間違っている場合には、
教えてください。私は円柱を切断する2平面の距離がLであるとして解答を書きます。

(解答)円柱と地面との交点をAとする。また、底面の円の中心に関するAの対称点
をBとする。ここで、2底面の円の中心を通り、かつ、地面に垂直な平面で円柱を
切断したときにできる長方形で、四角形ABCDとなるように、点Cと点Dを定める。

このとき、円柱を、Aを通り問題にあるような平面で切断する。これによってできる
立体のうちBを含むものを立体Bと呼ぶ。（平面と直線BCの交点をEとする。）
また、もう一方をCを通り問題にあるような平面する。これによってできる立体の
うちDを含むものを立体Dと呼ぶ。
（平面と直線ADの交点をFとする。）

地面に立てた垂線と2底面の円の中心を通る直線のなす角は、θである。
このとき、直線CFと直線ADのなす角は、θである。
AF=L/sinθ
DF=2L/tanθ
円柱の底面の半径がrであるから、
（もとの円柱の体積）=π\(r^{2}\)*AD=π\(r^{2}\)(AF+DF)
=π\(r^{2}\)[(L/sinθ)+(2L/tanθ)]・・・・・・・・・(1)

立体Bと立体Dを平行移動して、重ねると底面が半径rで、高さが2L/tanθの円柱になる。
（立体Bと立体Dの体積の和）
=π\(r^{2}\)(2L/tanθ)・・・・・・・・・・・・・・・(2)

（もとめる体積）=（もとの円柱の体積）-（立体と立体の体積の和）
=(1)-(2)
=πL\(r^{2}\)/sinθ　　(ただし、0＜θ＜2π)・・・・(答）

ずいぶんと長くて、まどろっこしい解答になってしまいました。
間違いがあったら、教えてください。

さっそく回答いただきありがとうございます。
求めて頂きたい体積、うまく表現できませんので図を作りました。



今一度、よろしくお願いいたします。

図を見る限り、
半径 r, 高さ 2rtanθ の円柱を半分に割ったもの
半径 r, 高さ (h-2\(\frac{r}{c}\)osθ)/sinθ の円柱
半径 r, 高さ 2\(\frac{r}{t}\)anθ の円柱を半分に割ったもの
の合計に見えますね。
つまり、体積は
π\(r^{2}\)・(rtanθ+\(\frac{r}{t}\)anθ+(h-2\(\frac{r}{c}\)osθ)/sinθ)=π\(r^{2}\)・(\(\frac{h}{s}\)inθ-2\(\frac{r}{s}\)in2θ)
尤も、2\(\frac{r}{c}\)osθ≦h≦Ltanθ の条件が要りますが。
※水面が半端な所になるため。

なお、円柱を半分に割ったものが、円柱の半分の体積になることは、
積分計算でも確かめられます。
※一部分だけでも、三角関数の逆関数で表すことはできます。

半径 r, 高さ h の円柱
　\(x^{2}\)+\(y^{2}\)≦\(r^{2}\)
　-\(\frac{h}{2}\)≦z≦\(\frac{h}{2}\)
の内、平面で半分に切断した領域は
　x≧2r\(\frac{z}{h}\)

断面積
　S(z)=\(r^{2}\)・f(2\(\frac{z}{h}\))
この f(t) は、
　f(t)=π/2-arcsin(t)-t\(\sqrt{\quad}\)(1-\(t^{2}\))

ここで、以下の置換により体積を計算する。
　t=2\(\frac{z}{h}\), dt=\(\frac{2}{h}\)・dz, dz=\(\frac{h}{2}\)・dt
　t=sinθ, dt=cosθdθ

∫[-\(\frac{h}{2}\),\(\frac{h}{2}\)] S(z) dz
= ∫[-\(\frac{h}{2}\),\(\frac{h}{2}\)] \(r^{2}\)・f(2\(\frac{z}{h}\)) dz
= h\(r^{2}\)/2・∫[-1,1] f(t)dt
= h\(r^{2}\)/2・∫[-1,1] (π/2-arcsin(t)-t\(\sqrt{\quad}\)(1-\(t^{2}\)))dt
= h\(r^{2}\)/2・(π-∫[-1,1] (arcsin(t)+t\(\sqrt{\quad}\)(1-\(t^{2}\)))dt )
= h\(r^{2}\)/2・(π-∫[-π/2,π/2] (θ+sinθcosθ)cosθdθ )
= πh\(r^{2}\)/2

ちなみに、
g(θ)=θcosθ+sinθ(cosθ\()^{2}\) とする時、
∫g(θ)dθ
=θsinθ-∫sinθdθ-\(\frac{1}{3}\)・(cosθ\()^{3}\)
=θsinθ+cosθ-\(\frac{1}{3}\)・(cosθ\()^{3}\)

社会人さんの図1の円柱の断面からできる平行四辺形で地面と接している点をAとする。
また、反時計回りにG,C,Bをとる。Gから線分BCにおろした垂線の足をHとする。

Gを原点として、\(\vec{GH}\)の向きにx軸をとる。このとき、x=xによる円柱の切断面は長方形
である。この長方形の2辺のうち、図1に垂直である辺の長さをk、円柱の高さ方向の辺
の長さをm、とする。

このとき、円柱を線分GHを通り、円柱に垂直な断面を考える。この断面は半径rの円で
あり、x=xによる断面はこの円上では、円の中心からの距離が|r-x|の弦になる。
この弦の長さがkである。
三平方の定理より、
k=2\(\sqrt{\quad}\)[\(r^{2}\)-(r-x\()^{2}\)]=2\(\sqrt{\quad}\)(2rx-\(x^{2}\))・・・・・(1)

(イ)0≦h≦Ltanθのとき
水面とx=xの交点をE,x=xと線分ABの交点をFとする。
m=EF=[h-(\(\frac{x}{c}\)osθ)]/sinθ
この式をf(x)とおく。

(ロ）Ltanθ≦h かつ　点Eが存在するとき
このとき(h-Ltanθ)/cosθ≦x
この値をβとする。
(イ)と同様に
m=EF=f(x)

(ハ）Ltanθ≦h かつ　点Eが存在しないとき
このとき0≦x≦β
また、m=GA=cosθ/L

(1),(イ)、(ロ）、(ハ)、より
求める体積をVとおくと、

0≦h≦2\(\frac{r}{c}\)osθのとき
V=∫[0,hcosθ]kf(x)dx

2\(\frac{r}{c}\)osθ≦h≦Ltanθのとき
V=∫[0,2r]kf(x)dx

h≧Ltanθのとき
V=∫[0,β](kL)/cosθdx+∫[β,2r]kf(x)dx

ただし、k=2\(\sqrt{\quad}\)(2rx-\(x^{2}\))
f(x)=[h-(\(\frac{x}{c}\)osθ)]とする。


この解答は、GがBよりも高い位置にあるとして問題を解いてあります。図の送り方が
わからないので、図がなく、説明もうまくできず、非常にわかりにくい解答になって
しまいました。すいません。それと、これまた、あまり自信がありません。
せっかく、図まで送っていただいたのにすいません。
ところで、Excelで積分は計算できるのでしょうか？
積分は残っていて大丈夫ですか？

（※解答ありがとうございます。図の送り方ですが、管理人宛のメールに添付ファイル
　　として送って頂いても結構です。ワードでも一太郎でも、ｂｍｐでもｐｓｐでも、
　　ＴｅＸでもｐｄｆでもほとんど大丈夫です。変換してｊｐｇでホームページに掲載
　　しています。ｊｐｇで送って頂けるととっても助かります。管理人談）
　　　　→管理人への直接メールは、ここをクリック