[解] AR と直線PQ,BCの交点を各々G,H とし
　　 AG/AH=d とおくと

　△PQR∽△ABCで相似比は d:1

i)　0＜d≦\(\frac{1}{2}\) のとき R は△ABCの内部にあるから

　　S=△PQR=\(d^{2}\)≦\(\frac{1}{2}\) (等号はd=\(\frac{1}{2}\)のとき)

ii) \(\frac{1}{2}\)≦d＜1 のとき R は△ABCの外部にあり、
△PQRの△ABCからはみだした部分を△Tとおけば
　△T∽△ABCで相似比は 2d-1:1　だから

　　S=△PQR-△T
=\(d^{2}\)-(2d-1\()^{2}\)
=-3\(d^{2}\)+4d-1
=-3(d-\(\frac{2}{3}\)\()^{2}\)+\(\frac{1}{3}\)≦\(\frac{1}{3}\) (等号はd=\(\frac{2}{3}\)のとき)

以上より　Sの最大値は\(\frac{1}{3}\)　■