余弦定理と　2\(a^{2}\)=3bc　から
cosA=(\(b^{2}\)+\(c^{2}\)-\(a^{2}\))/(2bc)
={(\(b^{2}\)+\(c^{2}\))/(2bc)}-\(\frac{3}{4}\)・・・①
cosAが最小となるのは(\(b^{2}\)+\(c^{2}\))/(2bc)が最小となるとき
\(b^{2}\)+\(c^{2}\)≧2bc　(∵(b-c\()^{2}\)≧0)
したがって
(\(b^{2}\)+\(c^{2}\))/(2bc)≧1
よって
cosA≧1-(\(\frac{3}{4}\))≧\(\frac{1}{4}\)
cosAの最小値は\(\frac{1}{4}\)・・・（答）
このとき①より
{(\(b^{2}\)+\(c^{2}\))/(2bc)}-\(\frac{3}{4}\)=\(\frac{1}{4}\)　だから
(\(b^{2}\)+\(c^{2}\))/(2bc)=1
(b-c\()^{2}\)=0
∴b=c　すなわち　b:c=1:1
2\(a^{2}\)=3bcだから
\(\sqrt{\quad}\)2a=\(\sqrt{\quad}\)3bより　a:b=((\(\sqrt{\quad}\)6)/2):1
したがって
a:b:c=(\(\sqrt{\quad}\)6)/2 : 1 : 1　・・・（答）
0°≦A≦180°だから
cosA=\(\frac{1}{4}\)のときsinA=(\(\sqrt{\quad}\)15)/4
△ABC=(\(\frac{1}{2}\))bcsinA=(\(\frac{1}{2}\))\(c^{2}\)*((\(\sqrt{\quad}\)15)/4)
=(\(\sqrt{\quad}\)15)/8*\(c^{2}\)・・・（答）

いつもありがとうございます。
この問題自力で解く事が出来ました、お手数おかけしました。