解の公式はありませんが、一般解は次のようにして求めるようです。
その前に、ｘ²の項のある三次方程式
ｘ³＋ｐｘ²＋ｑｘ＋ｒ＝０
は、変換式　ｘ＝ｙ－（ｐ／３）とおくと、ｘ²の項がな
い与式ができるので、この与式を計算すればよいようです。

与式　ｘ³＋ｍｘ＋ｎ＝０
ｘ＝ｕ＋ｖとおき代入すると、
（ｕ＋ｖ）³＋ｍ（ｕ＋ｖ）＋ｎ＝０
変形して
（ｕ³＋ｖ³＋ｎ）＋（３ｕｖ＋ｍ）（ｕ＋ｖ）＝０
この式が成り立つためには、
　　┌　ｕ³＋ｖ³＋ｎ＝０
　　└　３ｕｖ＋ｍ＝０
でなければならないから、この２式を満たす組（ｕ，ｖ）を求めると、
与式の解が求まる。
３ｕｖ＝－ｍより、ｖ＝－ｍ／３ｕと変形し、代入すると、
ｕ³＋（－ｍ／３ｕ）³＋ｎ＝０
両辺にｕ³を掛けて、
ｕ⁶＋ｎｕ³－ｍ³／２７＝０
六次方程式だが、ｕ³＝ｔとおくと、
ｔの２次方程式になる。
ｔ²＋ｎｔ－ｍ³／２７＝０
二次方程式の解の公式を使って、
ｔ＝（－ｎ／２）\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)｛（ｎ／２）²＋（ｍ／３）³｝
このあとは、式が複雑になるので、この解をＡ，Ｂとおく。
Ａ＝（－ｎ／２）＋\(\sqrt{\quad}\)｛（ｎ／２）²＋（ｍ／３）³｝
Ｂ＝（－ｎ／２）－\(\sqrt{\quad}\)｛（ｎ／２）²＋（ｍ／３）³｝
すると、ｕ³＝Ａより、
ｕ＝（³\(\sqrt{\quad}\)Ａ）×１，（³\(\sqrt{\quad}\)Ａ）×ω，（³\(\sqrt{\quad}\)Ａ）×ω²
ただし、１，ω，ω²は　ｘ³＝１の３解である。
ｖ³も、ｕ³と同じ解となるが、
片一方がＡのときは、もう一方はＢより、
ｖ＝（³\(\sqrt{\quad}\)Ｂ）×１，（³\(\sqrt{\quad}\)Ｂ）×ω，（³\(\sqrt{\quad}\)Ｂ）×ω²
したがって、ｘ＝ｕ＋ｖより与式の３解は、
　　┌ｘ＝（³\(\sqrt{\quad}\)Ａ）×１＋（³\(\sqrt{\quad}\)Ｂ）×１
　　│ｘ＝（³\(\sqrt{\quad}\)Ａ）×ω＋（³\(\sqrt{\quad}\)Ｂ）×ω²
　　└ｘ＝（³\(\sqrt{\quad}\)Ａ）×ω²＋（³\(\sqrt{\quad}\)Ｂ）×ω
となる。

その後分かったことを追記します。

３次方程式の判別式Ｒ＝（ｎ／２）²＋（ｍ／３）³において
①Ｒ＞０のとき、
ｕ＝（³\(\sqrt{\quad}\)Ａ）×１，（³\(\sqrt{\quad}\)Ａ）×ω，（³\(\sqrt{\quad}\)Ａ）×ω²より
３ｕｖ＋ｍ＝０、ｕｖ＝－ｍ／３（定数）を満たすようにｖを決めると、
ｕ＝（³\(\sqrt{\quad}\)Ａ）×１のとき、ｖ＝（³\(\sqrt{\quad}\)Ｂ）×１
ｕ＝（³\(\sqrt{\quad}\)Ａ）×ωのとき、ｖ＝（³\(\sqrt{\quad}\)Ｂ）×ω²
（∵ω×ω²＝ω³＝１より）
ｕ＝（³\(\sqrt{\quad}\)Ａ）×ω²のとき、ｖ＝（³\(\sqrt{\quad}\)Ｂ）×ω
したがって、３つの場合より、ｘ＝ｕ＋ｖより与式の３解は、
　　┌ｘ₁＝（³\(\sqrt{\quad}\)Ａ）×１＋（³\(\sqrt{\quad}\)Ｂ）×１
　　│ｘ₂＝（³\(\sqrt{\quad}\)Ａ）×ω＋（³\(\sqrt{\quad}\)Ｂ）×ω²
　　└ｘ₃＝（³\(\sqrt{\quad}\)Ａ）×ω²＋（³\(\sqrt{\quad}\)Ｂ）×ω
となる。これは、１実根ｘ₁と２複素根ｘ₂、ｘ₃となる。
②Ｒ＜０のとき、（つまりｍ＜０）
ｕ³＝Ａ＝（－ｎ／２）＋\(\sqrt{\quad}\)Ｒ
複素数なので、極形式で表す。
ｕ³＝ｒ₀（cosθ＋ｉsinθ）
ド・モアブルの定理より
ｕ＝³\(\sqrt{\quad}\)ｒ₀（cosθ/3＋ｉsinθ/3）
　＝³\(\sqrt{\quad}\)ｒ₀ｅ^iθ/3
ｕ³とｖ³は、共役複素数だから
ｖ³＝ｒ₀（cosθ－ｉsinθ）より、
ｖ＝³\(\sqrt{\quad}\)ｒ₀（cosθ/3－ｉsinθ/3）
　＝³\(\sqrt{\quad}\)ｒ₀ｅ^-iθ/3
∴ｘ₁＝ｕ＋ｖ＝２³\(\sqrt{\quad}\)ｒ₀cosθ/3

ω＝（－１＋ｉ\(\sqrt{\quad}\)３）／２＝ｅ^i2π/3
ω²＝ｅ^-i2π/3より
∴ｘ₂＝ωｕ＋ω²ｖ
　　　＝ｅ^i2π/3・³\(\sqrt{\quad}\)ｒ₀ｅ^iθ/3＋ｅ^-i2π/3・³\(\sqrt{\quad}\)ｒ₀ｅ^-iθ/3
　　　＝－２³\(\sqrt{\quad}\)ｒ₀cos(θ－π)/3

同様にして
∴ｘ₃＝ω²ｕ＋ωｖ
　　　＝－２³\(\sqrt{\quad}\)ｒ₀cos(θ＋π)/3

ｕｖ＝（³\(\sqrt{\quad}\)ｒ₀）²とｕｖ＝－ｍ／３（定数）より
³\(\sqrt{\quad}\)ｒ₀＝\(\sqrt{\quad}\)(－ｍ／３)
cosθ＝（－ｎ／２）／ｒ₀
このことより、ｒ₀とθが求まるので、
３実根ｘ₁、ｘ₂、ｘ₃が求まる。