（１）
△ＡＢＤは∠ＡＤＢ＝９０°の直角三角形だから
２点Ａ，Ｂは外接円Ｋの直径の両端である。（∵円周角）
また、△ＡＥＢも∠ＡＥＢ＝９０°の直角三角形
△ＢＥＣも∠ＢＥＣ＝９０°の直角三角形である。
ＡＥ＝ａとおくと、ＥＣ＝５－ａ
ＥＢ＝ｂとおくと
△ＡＥＢにおいて三平方の定理から
ＡＥ^2＋ＥＢ^2＝ＡＢ^2より
ａ^2＋ｂ^2＝１６・・・①
△ＢＥＣにおいて三平方の定理から
ＥＣ^2＋ＥＢ^2＝ＢＣ^2より
（５－ａ）^2＋ｂ^2＝３６・・・②
①②よりａ＝１／２
∴ＡＥ＝１／２・・・（答）

（２）
∠Ａは三角形の内角だから
０°＜∠Ａ＜１８０°
また、ｃｏｓＡ＝１／８だから
０°＜∠Ａ＜９０°
よって、ｓｉｎＡ＞０
したがって
ｓｉｎＡ＝\(\sqrt{\quad}\)（１－ｃｏｓ^2Ａ）＝（３\(\sqrt{\quad}\)７）／８
△ＡＢＣ＝（１／２）ＡＢ・ＡＣ・ｓｉｎＡ＝（１５\(\sqrt{\quad}\)７）／４
△ＡＯＰ＝（１／３）△ＡＢＣ＝（５\(\sqrt{\quad}\)７）／４
２点Ａ，Ｂは外接円Ｋの直径の両端だから
ＡＯ＝２
ＯＱは外接円Ｋの半径に等しいから
ＯＱ＝２
よって
△ＡＯＰ＝（１／２）ＡＯ・ＡＰ・ｓｉｎＡ
　　　　＝ＡＰ・（３\(\sqrt{\quad}\)７）／８＝（５\(\sqrt{\quad}\)７）／４
∴ＡＰ＝１０／３
△ＡＯＰを余弦定理から
ＯＰ^2＝ＡＯ^2＋ＡＰ^2－２ＡＯ・ＡＰ・ｃｏｓＡ
　　　＝１２１／９
∴ＯＰ＝１１／３
ＰＱ＝ＯＰ－２＝５／３・・・（答）