問１
sinθ＋cosθ＝ｘより、両辺を２乗して
sin² θ＋２sinθcosθ＋cos² θ＝ｘ²
sin² θ＋cos² θ＝１より、
１＋２sinθcosθ＝ｘ²
　　　　　　　ｘ² －１
∴sinθcosθ＝────　……（答）
　　　　　　　　２

問２
ｙ＝２（sinθ＋cosθ）＋２sinθcosθ－１
　＝２ｘ＋ｘ² －１－１
　＝ｘ² ＋２ｘ－２　……（答）

問３
ｘ＝sinθ＋cosθ
加法定理より、
ｘ＝\(\sqrt{\quad}\)２（sinθcos４５°＋cosθsin４５°）
　＝\(\sqrt{\quad}\)２sin（θ＋４５°）
－１≦sinθ≦１より、
－１≦sin（θ＋４５°）≦１
∴－\(\sqrt{\quad}\)２≦ｘ≦\(\sqrt{\quad}\)２　……（答）

問４
ｙ＝ｘ² ＋２ｘ－２
　＝（ｘ＋１）² －３
頂点（－１，－３）

ｘ＝\(\sqrt{\quad}\)２のとき、ｙ＝２＋２\(\sqrt{\quad}\)２－２＝２\(\sqrt{\quad}\)２
\(\sqrt{\quad}\)２＝\(\sqrt{\quad}\)２sin（θ＋４５°）より、
sin（θ＋４５°）＝１
０°≦θ＜３６０°より、
θ＋４５°＝９０°
∴θ＝４５°
ｘ＝－１のとき、ｙ＝－３
－１＝\(\sqrt{\quad}\)２sin（θ＋４５°）より、
　　　　　　　　　　　　１
sin（θ＋４５°）＝－───
　　　　　　　　　　　\(\sqrt{\quad}\)２
０°≦θ＜３６０°より、
θ＋４５°＝２２５°，３１５°
∴θ＝１８０°，２７０°
したがって、
θ＝４５°のとき、最大値２\(\sqrt{\quad}\)２
θ＝１８０°，２７０°のとき、最小値－３　……（答）