(1)\(x^{2}\)+\(y^{2}\)=25・・・・(1)
y=3x+k・・・・・・(2)
[(1)と(2)が共有点を持つ。]
⇔
[((1)が表す円の中心の座標と(2)が表す直線との距離)
≦
(円(1)の半径)]
⇔
|k|/\(\sqrt{\quad}\)(\(3^{2}\)+\(1^{2}\))≦5
⇔
|k|≦5\(\sqrt{\quad}\)10
⇔
-5\(\sqrt{\quad}\)10≦k≦5\(\sqrt{\quad}\)10・・・・(答)

解答その１

y=3x+kを\(x^{2}\)+\(y^{2}\)=25に代入して整理すると
10\(x^{2}\)+6kx+\(k^{2}\)-25=0・・・①
円\(x^{2}\)+\(y^{2}\)=25と直線y=3x+kが共有点をもつとは
①が実数解を持つこと
①判別式をDとすると
D/4=9\(k^{2}\)-10(\(k^{2}\)-25)≧0
これを解いて
-5\(\sqrt{\quad}\)10≦k≦5\(\sqrt{\quad}\)10・・・（答）
接すのはD/4=0のときだから
k=\(\pm\)5\(\sqrt{\quad}\)10・・・（答）
接点の座標は省略します。

解答その２

ポンさんがやったように、距離を利用します。
なお、円と直線の距離ではなくて
「円の中心」と直線の距離を利用します。
円\(x^{2}\)+\(y^{2}\)=25
は、原点中心、半径5の円なので
原点と直線y=3x+kの距離が5以下なら共有点を持ちます。
原点と直線y=3x+kの距離は
|k|/\(\sqrt{\quad}\)10なので
|k|/\(\sqrt{\quad}\)10≦5　、|k|≦5\(\sqrt{\quad}\)10
すなわち
-5\(\sqrt{\quad}\)10≦k≦5\(\sqrt{\quad}\)10
接するのは等号が成り立つときですね。