lim(x→0)(1+x)^(\(\frac{1}{x}\))=eを利用します

lim(x→0)(1+3x)^(\(\frac{1}{x}\))
=lim(x→0){(1+3x)^(1/(3x))}^3
x→0のとき3x→0だから
lim(x→0){(1+3x)^(1/(3x))}^3=\(e^{3}\)・・・（答）

こんにちは。

（ 答案 ）
いま、　
ｅ＝ｌｉｍ_[n→∞]｛１＋（１／ｎ）｝^n
　＝ｌｉｍ_[t→0]（１＋ｔ）^(\(\frac{1}{t}\))
となることが知られている。

したがって、
lim［ｘ→０］（１＋３ｘ）＾１／ｘ
＝ｌｉｍ_[x→0][｛１＋（３ｘ）｝^{1/(3x)}]^3
＝ｌｉｍ_[u→0]｛（１＋ｕ）^(\(\frac{1}{u}\))｝^3　
（ ｕ＝３ｘ、ｘ→０　で　ｕ→０ ）
＝ｅ^3　…　（ 答 ）

※ 敷衍すれば、　
ｌｉｍ_[x→0]（１＋ａｘ）^(\(\frac{1}{x}\))＝ｅ^a　（ ａ＞０ ）　ですね。