確率の加法定理についての証明です。
A1、A2、…、Anにおいて
P(A1∪A2∪…∪An)
=P(A1)+…+P(An)
-(P(A1∩A2)+…+P(An-1∩An))
+(P(A1∩A2∩A3)+…+P(An-2∩An-1∩An))
…
+(P(A1∩A2∩…∩An))
を数学的帰納法を用いて証明せよ。
よろしくお願いいたします。
★希望★完全解答★
確率の加法定理についての証明です。
A1、A2、…、Anにおいて
P(A1∪A2∪…∪An)
=P(A1)+…+P(An)
-(P(A1∩A2)+…+P(An-1∩An))
+(P(A1∩A2∩A3)+…+P(An-2∩An-1∩An))
…
+(P(A1∩A2∩…∩An))
を数学的帰納法を用いて証明せよ。
よろしくお願いいたします。
★希望★完全解答★
設問の式が誤っているように思われます。例えば、n=2のとき、
P(A1∪A2)
=P(A1)+P(A2)
-(P(A1∩A2)
+(P(A1∩A2)
=P(A1)+P(A2)
となってしまいます。しかしながら、解答は、
P(A1∪A2)
=P(A1)+P(A2)-(P(A1∩A2)
ですよね。
有限個の和集合をどう展開できるかを考えれば、結果の式も分かるはずです。
追記します。
P(A1∪A2)
=P(A1)+P(A2)
-(P(A1∩A2)+P(A2∩A1))
+(P(A1∩A2)
=P(A1)+P(A2)-P(A1∩A2)
なんですよ。設問の式との違いが、分かりますよね。