部分積分で解きます。
ｕ＝ｔ　　　　　－→ｕ′＝１
ｖ′＝cos３ｔ　 －→ｖ＝（１／３）sin３ｔ
したがって、
∫「０→π/2」ｔｃｏｓ３ｔdt

　　　　　　　　　　　π/2　　π/2
＝［（ｔ／３）sin３ｔ］　　－∫　（１／３）sin３ｔｄｔ
　　　　　　　　　　　０　　　０

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　π/2
＝（π／６）sin（３π／２）－０－［－（１／９）cos３ｔ］
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　０

＝－π／６＋（１／９）cos（３π／２）－（１／９）

＝－π／６－１／９……（答）