こんにちは。

ｙ＝ｔａｎ^(-1)｛（１／２）ｔａｎ（ｘ／２）｝　の微分と読みますと…


（ 答案 ）
まず、与式から定義域は　ｘ≠（４ｎ\(\pm\)１）π　であるが、逆正接関数を取り扱うので
あるから値域は主としていま　（－π／２，π／２）　を考えることにすると、単射で
もあるから定義域は主として　（－π，π）　とすることにする。

与式を変形すると、　ｔａｎ（ｙ）＝（１／２）ｔａｎ（ｘ／２）　で
ｄｔａｎ（ｙ）／ｄｘ＝ｄ（１／２）ｔａｎ（ｘ／２）／ｄｘ

｛ｄｔａｎ（ｙ）／ｄｙ｝｛ｄｙ／ｄｘ｝
＝（１／２）[（１／２）｛１／ｃｏｓ^2（ｘ／２）｝]　（ ｃｏｓ（ｘ／２）≠０ ）

｛１／ｃｏｓ^2（ｙ）｝｛ｄｙ／ｄｘ｝＝（１／４）｛１／ｃｏｓ^2（ｘ／２）｝
（ ｃｏｓ（ｙ）≠０ ）

ｄｙ／ｄｘ＝（１／４）｛ｃｏｓ^2（ｙ）／ｃｏｓ^2（ｘ／２）｝…　［１］

ここで、　
ｃｏｓ^2（ｙ）
＝１／｛１＋ｔａｎ^2（ｙ）｝
＝１／｛１＋（１／４）ｔａｎ^2（ｘ／２）｝
＝｛４ｃｏｓ^2（ｘ／２）｝／｛４ｃｏｓ^2（ｘ／２）＋ｓｉｎ^2（ｘ／２）｝　
であるから

［１］＝１／｛４ｃｏｓ^2（ｘ／２）＋ｓｉｎ^2（ｘ／２）｝
＝１／｛３ｃｏｓ^2（ｘ／２）＋１｝
＝１／[（３／２）｛ｃｏｓ（ｘ）＋１｝＋１]
＝２／｛３ｃｏｓ（ｘ）＋５｝　…　（ 答 ）

のようになりました。

こーゆー問題はアレですね、ちょっと表記法工夫すべきだと思いますよ。
まあ、ややこしいな、と感じるのも分かりますが、

ｙ＝tan＾-1（\(\frac{1}{2}\)tanｘ/2）

と言う表記だとどことどこを区切って考えればイイのか丸っきり分かりません。
まずは、－1乗ですけど、sin、cos、等の三角関数絡みですと、arcsinとかarccosとか
表記した方が宜しいと思います。でないとただでさえ分かり辛いのが分かりづらくなっ
てしまう。これは単純に投稿者の怠慢です。
上の式は次のように解釈する事にします。

ｙ＝arctan{(\(\frac{1}{2}\))*tan(ｘ/2)}･･･①

元の式ではtan以降が分母なのかそれとも\(\frac{1}{2}\)に掛けてるものなのか全然分からない
からです。
①式は次の式と同値です。

tan(ｙ)＝(\(\frac{1}{2}\))*tan(ｘ/2)
∴2tan(y)＝tan(ｘ/2)･･････②

これを微分すれば完了です。
tanの微分はse\(c^{2}\)なので、②式を両辺xに付いて微分すると、

2*【{sec(y)}^2】*d\(\frac{y}{d}\)x＝(\(\frac{1}{2}\))*{sec(\(\frac{x}{2}\))}^2
∴d\(\frac{y}{d}\)x＝(\(\frac{1}{4}\))*【{sec(\(\frac{x}{2}\))}^2】/【{sec(y)}^2】

が答えです。
右辺にyが含まれるのが気になるのなら、①を代入しなおせば宜しいでしょう。つまり、

d\(\frac{y}{d}\)x＝(\(\frac{1}{4}\))*【{sec(\(\frac{x}{2}\))}^2】/【{sec(arctan{(\(\frac{1}{2}\))*tan(ｘ/2)})}^2】

となるでしょうね。