問１

内接する□ＯＡＢＣの対角の和は１８０°より、
∠ＡＢＣ＝１８０°－∠ＡＯＣ＝１８０°－６０°＝１２０°
△ＡＢＣにおいて、ＡＢ：ＢＣ＝２：１より、ＢＣ＝ｋとおくと、
ＡＢ＝２ｋ、また余弦定理より、
ＡＣ² ＝ｋ² ＋４ｋ² －２・ｋ・２ｋcos１２０°
　　　＝５ｋ² －４ｋ² ・（－１／２）
　　　＝７ｋ²
ＡＣ＞０より、ＡＣ＝ｋ\(\sqrt{\quad}\)７
△ＯＡＣはＡＯ＝ＣＯ、∠ＡＯＣ＝６０°より、正三角形なので、
ＡＯ＝ＣＯ＝ＡＣ＝ｋ\(\sqrt{\quad}\)７
□ＯＡＢＣの面積は９\(\sqrt{\quad}\)３より、
９\(\sqrt{\quad}\)３＝（１／２）ｋ・２ｋsin１２０°＋（１／２）（ｋ\(\sqrt{\quad}\)７）² sin６０°

　　　　　　　\(\sqrt{\quad}\)３　１　　　　　\(\sqrt{\quad}\)３
　　　＝ｋ² ・──＋─・７ｋ² ・──
　　　　　　　　２　２　　　　　　２

　　　　９\(\sqrt{\quad}\)３
　　　＝───・ｋ²
　　　　　４

ｋ² ＝４
ｋ＞０より、∴ｋ＝２

ＢＣ＝２、ＡＢ＝４、ＡＯ＝ＣＯ＝ＡＣ＝２\(\sqrt{\quad}\)７より、

弧ＡＢ上の円周角は等しいから
∠ＡＯＢ＝∠ＡＣＢ＝θとおくと、
△ＡＢＣにおいて、余弦定理より、
１６＝４＋２８－２・２・２\(\sqrt{\quad}\)７cosθ

　　　　　１６　　２\(\sqrt{\quad}\)７
cosθ＝────＝────
　　　　８\(\sqrt{\quad}\)７　　　７

０＜θ＜６０°より、sinθ＞０
　　　　　　　　　２\(\sqrt{\quad}\)７
sinθ＝\(\sqrt{\quad}\)｛１－（────）² ｝
　　　　　　　　　　７

　　　\(\sqrt{\quad}\)（４９－２８）
　　＝────────
　　　　　　７

　　　\(\sqrt{\quad}\)２１
　　＝────
　　　　７

△ＯＡＨにおいて、
点Ａの座標を（ｘ、ｙ）とすると、
ｘ＝ＡＨ＝ＯＡsinθ

　　　　　　\(\sqrt{\quad}\)２１
　＝２\(\sqrt{\quad}\)７・───＝２\(\sqrt{\quad}\)３
　　　　　　　７

　　　　　　　　　　　　　　　２\(\sqrt{\quad}\)７
ｙ＝ＯＨ＝ＯＡcosθ＝２\(\sqrt{\quad}\)７・────＝４
　　　　　　　　　　　　　　　　７
したがって、点Ａ（２\(\sqrt{\quad}\)３，４）……（答）

同様にして、点Ｃ（－\(\sqrt{\quad}\)３，５）……（答）

点Ｂ（０，ｂ）とおくと、
ＢＣ＝\(\sqrt{\quad}\)｛（－\(\sqrt{\quad}\)３）² ＋（５－ｂ）² ｝
２＝\(\sqrt{\quad}\)（ｂ² －１０ｂ＋２８）
２乗して、
４＝ｂ² －１０ｂ＋２８
ｂ² －１０ｂ＋２４＝０
（ｂ－４）（ｂ－６）＝０
ｂ＞５より、
∴ｂ＝６
点Ｂ（０，６）……（答）

※ちょっと大変でした！

問２
ａ₁ ＝２＋２\(\sqrt{\quad}\)２
ａ_n+1＝ａ_n ＋２\(\sqrt{\quad}\)（ａ_n ＋ｎ）
ｎ＝１のとき、ａ₂ ＝ａ₁ ＋２\(\sqrt{\quad}\)（ａ₁ ＋１）
　　　　　　　　　＝２＋２\(\sqrt{\quad}\)２＋２\(\sqrt{\quad}\)（２＋２\(\sqrt{\quad}\)２＋１）
　　　　　　　　　＝２＋２\(\sqrt{\quad}\)２＋２\(\sqrt{\quad}\)（３＋２\(\sqrt{\quad}\)２）
　　　　　　　　　＝２＋２\(\sqrt{\quad}\)２＋２（\(\sqrt{\quad}\)２＋１）
　　　　　　　　　＝４＋４\(\sqrt{\quad}\)２
ｎ＝２のとき、ａ₃ ＝ａ₂ ＋２\(\sqrt{\quad}\)（ａ₂ ＋２）
　　　　　　　　　＝４＋４\(\sqrt{\quad}\)２＋２\(\sqrt{\quad}\)（４＋４\(\sqrt{\quad}\)２＋２）
　　　　　　　　　＝４＋４\(\sqrt{\quad}\)２＋２\(\sqrt{\quad}\)（６＋２\(\sqrt{\quad}\)８）
　　　　　　　　　＝４＋４\(\sqrt{\quad}\)２＋２（２＋\(\sqrt{\quad}\)２）
　　　　　　　　　＝８＋６\(\sqrt{\quad}\)２
ｎ＝３のとき、ａ₄ ＝ａ₃ ＋２\(\sqrt{\quad}\)（ａ₃ ＋３）
　　　　　　　　　＝８＋６\(\sqrt{\quad}\)２＋２\(\sqrt{\quad}\)（８＋６\(\sqrt{\quad}\)２＋３）
　　　　　　　　　＝８＋６\(\sqrt{\quad}\)２＋２\(\sqrt{\quad}\)（１１＋２\(\sqrt{\quad}\)１８）
　　　　　　　　　＝８＋６\(\sqrt{\quad}\)２＋２（３＋\(\sqrt{\quad}\)２）
　　　　　　　　　＝１４＋８\(\sqrt{\quad}\)２
この数列を並べて、
　　　　　①　　　　　②　　　　　③　　　　　④　　　　　　……
　　　　　２＋２\(\sqrt{\quad}\)２　４＋４\(\sqrt{\quad}\)２　８＋６\(\sqrt{\quad}\)２　１４＋８\(\sqrt{\quad}\)２　……
幻の０番法より、
　　　＼　①　　　　　②　　　　　③　　　　　④　　　　　　……
　２　　＼２＋２\(\sqrt{\quad}\)２　４＋４\(\sqrt{\quad}\)２　８＋６\(\sqrt{\quad}\)２　１４＋８\(\sqrt{\quad}\)２　……
　　　Ｖ　＼　　　　Ｖ　　　　　Ｖ　　　　　Ｖ
　　２\(\sqrt{\quad}\)２　＼　２＋２\(\sqrt{\quad}\)２　４＋２\(\sqrt{\quad}\)２　６＋２\(\sqrt{\quad}\)２　……
　　　　　Ｖ　＼　　　　　Ｖ　　　　　Ｖ
　　　　　２　　＼　　　　２　　　　　２　　　　　……
したがって、
｛ｃ＝２
｛ａ＋ｂ＝２\(\sqrt{\quad}\)２
｛２ａ＝２
ａ＝１、ｂ＝２\(\sqrt{\quad}\)２－１、ｃ＝２
この数列の一般項は
ａ_n ＝ｎ² ＋（２\(\sqrt{\quad}\)２－１）ｎ＋２
ａ_n ＞１０００となる最小のｎを求めると、
ｎ² ＋（２\(\sqrt{\quad}\)２－１）ｎ＋２＞１０００
ｎ² ＋（２\(\sqrt{\quad}\)２－１）ｎ－９９８＞０となる最小のｎを
求めるために、
ｎ² ＋（２\(\sqrt{\quad}\)２－１）ｎ－９９８＝０を計算すると、

　　－（２\(\sqrt{\quad}\)２－１）\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)｛（２\(\sqrt{\quad}\)２－１）² －４（－９９８）｝
ｎ＝────────────────────────────
　　　　　　　　　　　　　２
これを小数化するのは大変である。電卓でやると、
ｎ＞０より、
ｎ＝３０．６９０……
∴最小のｎ＝３１……（答）