こんにちは。

（ 答案 ）
いま、　ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ｛１＋（１／ｘ）｝－｛１／（１＋ｘ）｝　とおくと、

（１）
ｆ（１）＝ｌｏｇ（２）－（１／２）
　　　　＝ｌｏｇ（\(\sqrt{\quad}\)４／\(\sqrt{\quad}\)ｅ）＞０

（２）
一方、　ｆ’（ｘ）＝－１／｛ｘ（１＋ｘ）＾２｝＜０　（ ｘ＞１ ）
したがって、　ｆ（ｘ）　は定義域で単調に減少する。

（３）
また、　ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ｛１＋（１／ｘ）｝－ｌｏｇ[ｅ＾｛１／（１＋ｘ）｝]
＝ｌｏｇ[｛１＋（１／ｘ）｝／｛ｅ＾｛１／（１＋ｘ）｝｝]
→ｌｏｇ（１／ｅ＾０）　（ ｘ→∞ ）
＝０

（４）
よって、　１＜ｘ　について　ｆ（ｘ）　は正領域にあって単調に減少するも、
その極限値が　０　であるから、区間　（１，∞）　で　ｆ（ｘ）＞０
ゆえに、題意のとおりである。

として見ました。