漸化式
｛ａ₁ ＝３
｛ａ_n+1＝２ａ_n ＋ｎ－１
ｎ＝１のとき、ａ₂ ＝２ａ₁ ＋１－１
　　　　　　　　　＝２・３＋１－１
　　　　　　　　　＝６
ｎ＝２のとき、ａ₃ ＝２ａ₂ ＋２－１
　　　　　　　　　＝２・６＋２－１
　　　　　　　　　＝１３
ｎ＝３のとき、ａ₄ ＝２ａ₃ ＋３－１
　　　　　　　　　＝２・１３＋３－１
　　　　　　　　　＝２８
ｎ＝４のとき、ａ₅ ＝２ａ₄ ＋４－１
　　　　　　　　　＝２・２８＋４－１
　　　　　　　　　＝５９
数列として並べて、
①　②　③　　④　　⑤　　……
３　６　１３　２８　５９　……
　Ｖ　Ｖ　　Ｖ　　Ｖ
　３　７　１５　３１　　　←第１階差
　　Ｖ　Ｖ　　Ｖ
　　４　８　１６　　　　　←第２階差
　　　Ｖ　Ｖ
　　　４　８　　　　　　　←第３階差
第３階差より、第２階差の数列が等比数列となることが分かる。
第２階差の一般項ｃ_n ＝４・２^n-1
　　　　　　　　　　　　　n-1
第１階差の一般項ｂ_n ＝３＋Σ　ｃ_k
　　　　　　　　　　　　　k=1

　　　　　　　　　　　　　n-1
　　　　　　　　　　＝３＋Σ　４・２^k-1
　　　　　　　　　　　　　k=1

　　　　　　　　　　　　　　　　２^n-1－１
　　　　　　　　　　＝３＋４・──────
　　　　　　　　　　　　　　　　　２－１


　　　　　　　　　　＝３＋４・２^n-1 －４
　　　　　　　　　　＝４・２^n-1 －１

　　　　　　　　　　　　　　n-1
問題の数列の一般項ａ_n ＝３＋Σ　ｂ_k
　　　　　　　　　　　　　　k=1

　　　　　　　　　　　　　　n-1
　　　　　　　　　　　＝３＋Σ（４・２^k-1－１）
　　　　　　　　　　　　　　k=1

　　　　　　　　　　　　　　　　　２^n-1 －１
　　　　　　　　　　　＝３＋４・──────　－　（ｎ－１）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　２－１


　　　　　　　　　　　＝３＋４・２^n-1 －４－ｎ＋１
　　　　　　　　　　　＝４・２^n-1 －ｎ
　　　　　　　　　　　＝２ⁿ⁺¹ －ｎ　……（答）

　　ａn+2＝２ａn+1＋（ｎ＋１）－１
－）ａn+1＝２ａn ＋ｎ　　　　－１
－－－－－－－－－－－－－－－－－－
ａn+2－ａn+1＝２（ａn+1－ａn）＋１
∴ｂn+1＝２ｂn＋１
（ｂ1＝ａ2－ａ1＝６－３＝３）
ｂn+1＋１＝２（ｂn＋１）
∴ｂn＝２＾n-1（３＋１）－１
という風にしてもできますよね。
第２、第３階差が嫌いなもので。