こんにちは。

あれこれがんばって見たのですが上手くいきませんので、思い切って反例を考えて
見ました。


１.　の反例
A: [－１，１]、　B: （－∞，∞）、　C: [－１，１]　の集合に対して、　
ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ^(-1)（ｘ）、ｇ（ｘ）＝ｓｉｎ（ｘ）　をみると、
（ｇοｆ）（ｘ）＝ｇ（ｆ（ｘ））＝ｓｉｎ（ｓｉｎ^(-1)（ｘ））＝ｘ　は単射で
あるが、
ｆ（１）＝（１／２）（１＋２ｎ）π　（ ｎ＝０，\(\pm\)１，\(\pm\)２，… ）　は　ｆ（ｘ）
　が単射の必要条件を満たさない。

２.　の反例
Ａ： （－∞，∞）－｛（π／２）\(\pm\)ｎπ、ｎ＝０，\(\pm\)１，\(\pm\)２，…｝、　
Ｂ： （－∞，∞）、　
Ｃ： （－∞，∞）－｛（π／２）\(\pm\)ｎπ、ｎ＝０，\(\pm\)１，\(\pm\)２，…｝　
の集合に対して、　
ｆ（ｘ）＝ｔａｎ（ｘ）、ｇ（ｘ）＝ｔａｎ^(-1)（ｘ）　をみると、
（ｇοｆ）（ｘ）＝ｇ（ｆ（ｘ））＝ｔａｎ^(-1)（ｔａｎ（ｘ））＝ｘ　は単射で、
かつ　ｆ（ｘ）　は全射であるが、　ｇ（１／\(\sqrt{\quad}\)２）＝（π／４）\(\pm\)ｎπ　
（ ｎ＝０，\(\pm\)１，\(\pm\)２，… ）　は　ｇ（ｘ）　が単射の必要条件を満たさない。

ただしここに、　ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ^(-1)（ｘ）、ｇ（ｘ）＝ｔａｎ^(-1)（ｘ）　は、
主値に限るような逆三角関数ではなく、ふつうの関数とは異なる多価関数を考えている。

したがって、命題は　１.　２.　とも偽である。

というような訳ですが、晩学であまり自信がありませんので、他の方からの御批判を
お持ちしております。

1. 対偶

f が単射でなければ gof は単射でない

を示すのが簡単です。

f が単射でないと，2つの異なる A の要素 x, y で f(x)=f(y) となるものがあります。
よって，g(f(x))=g(f(y)) となり，gof が単射でないことが示されました。

2. B の要素 x, y が，g(x)=g(y) をみたすと仮定します。このことから x=y を導けば，
g が単射であることを示したことになります。
さて，f は全射なので，A の要素で a, b で，x=f(a), y=f(b) をみたすものが必ずあります。
よって，
(gof)(a)=g(f(a))=g(x)=g(y)=g(f(b))=(gof)(b)
が成り立ち，gof が単射であることから a=b が導かれます。
ゆえに x=f(a)=f(b)=y となり，目標の x=y が示されました。


＜S(社会人)さんの回答に関するコメント＞
「写像」とは通常1価のものを指しますので，多価写像を用いて構成された「反例」は
不適当です。
ただし，とり得る値の多価性も許す「対応」の場合にはこの問題で述べられているような
性質が成り立たないことを示しているという点で面白い例だと思います。