武田先生、失礼します。
高校の数学を忘れてしまっていて、因数分解の初歩的な質問で恐縮なの
ですが、例えば、(X－3)(Xの2乗＋X＋3)が、もうこれ以上、因数分解で
きないというのは、どのようにして判断するのでしょうか？
単に、因数分解の公式である以下のパターンで解けなければ、
ふつうは因数分解できないと考えてしまうとかですか？
a2＋２ab＋b2＝(a＋b)2
a2－２ab＋b2＝(a－b)2
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
X2＋(a＋b)X＋ab＝(X＋a)(X＋b)
acX2＋(ad＋bc)X＋bd＝(aX＋b)(cX＋d)
a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)
a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)
「a2」「X2」「a3」は、aの2乗、Xの2乗、aの3乗として書いています。
見にくくなってしまい、すみません。
因数分解は、ｎ次式の時は最高ｎ個の１次式の積となるわけだが、
因数定理や組立除法や因数分解の公式などを使って、計算していく。
特に因数定理が大いに役立つ。
例えば、ｘ3 －２ｘ2 －９という３次式のとき、
定数項（－９）の絶対値９の素因数分解９＝３2 より、
３0 ＝１、３1 ＝３、３2 ＝９の
正負も考えた６個の数を取ってきて、
ｆ（ｘ）＝ｘ3 －２ｘ2 －９に、
代入する。
ｆ（１）＝１－２－９＝－１０≠０
ｆ（－１）＝－１－２－９＝－１２≠０
と言う具合に０となるまで計算していく。
ｆ（３）＝２７－１８－９＝０より、（ｘ－３）が因数であることが分かる。
ｆ（－３）＝－２７－１８－９＝－５４≠０
ｆ（９）＝７２９－１６２－９＝５５８≠０
ｆ（－９）＝－７２９－１６２－９＝－９００≠０
他には見つからないから、これ以上因数分解できないだろうと何となく決める。
組立除法より、 ＾＾＾＾＾＾＾
１ －２ ０ －９ ｜３
３ ３ ９ ￣￣
─────────────
１ １ ３｜ ０
ｘ2 ＋ｘ＋３
この２次式ｘ2 ＋ｘ＋３は判別式Ｄ＝ｂ2 －４ａｃ
を使えば、実数解があるかどうか分かる。
Ｄ＝１－４・１・３＝－１１＜０
マイナスより、実数解はない。
（虚数解ならあるが、ここではふれない。虚数解を許すならば、クンマーの因数
分解が使える。これは、ｎ次式はｎ個の１次式の積で表せる。質問＜１＞の野崎
先生のお便り参照）
したがって、この２次式は因数分解できないので、
問題の３次式は
ｘ3 －２ｘ2 －９
＝（ｘ－３）（ｘ2 ＋ｘ＋３）
となる。
武田先生、失礼します。
質問＜316＞に頂いた回答についての質問なのですが、
回答では組立除法を使っておられますが、ここを単なる割り算で解いて
しまってはいけないのですか？
具体的にいいますと、x3 －２x2 －９を因数分解する
方法として、まず因数定理でx－３で割り切れることを見つけて、
それから組立除法を使わずに単なる割り算を使って、
x2 ＋x＋３
＿＿＿＿＿＿＿＿＿
x－３｜x3 －２x2 －９
x3 －３x2
＿＿＿＿＿
x2
x2 －３x
＿＿＿＿＿
３x－９
３x－９
＿＿＿_
０
とやって、それから、
この解答x2 ＋x＋３を判別式にかけて、これ以上因数分解できない
ことを確認して、
x3 －２x2 －９＝(x2 ＋x＋３)(x－３)
としては何か不都合があるのですか？
組立除法と、単なる割り算の違いは何なのでしょうか？
「組立除法」と、単なる「わり算」は、同じです。
イギリスのホーナーという数学者が発明したのが、この「組立除法」
という簡便法です。あくまでも簡便法ですから、好きだったら使って
ください。当然、単なる「わり算」でやって正解です。