部分分数展開をすると

3/[(\(x^{3}\))+1]
=1/(x+1)-(\(\frac{1}{2}\))*[(2x-1)/{(\(x^{2}\))-x+1}]
+(\(\frac{3}{2}\))*[1/{(\(x^{2}\))-x+1}]　となる。

ゆえに

3∫[0,1] 1/{(\(x^{3}\))+1}dx
=∫[0,1] 1/(x+1)dx-
(\(\frac{1}{2}\))∫[0,1] (2x-1)/[(\(x^{2}\))-x+1]dx
+(\(\frac{2}{3}\))∫[0,1] 1/{(\(x^{2}\))-x+1}dx　である。

とても読みにくくなってしましました。・・・・ごめんなさい。

∫[0,1] 1/(1+x)dx=[log(x+1)][0,1]=log2

∫[0,1] (2x-1)/{(\(x^{2}\))-x+1}
=[log|(\(x^{2}\))-x+1|][0,1]=0
・・（この式では絶対値でなくともよいです。なぜなら、(\(x^{2}\))-x+1≧0であるから。）


∫[0,1] 1/{(\(x^{2}\))-x+1}dx
x-(\(\frac{1}{2}\))={(\(\sqrt{\quad}\)3)/2}tanyと変数変換する。
（この程度で、変数変換というのは、大げさすぎるか？）

∫[y=-p\(\frac{i}{6}\),y=p\(\frac{i}{6}\)] {(\(\sqrt{\quad}\)3)/2}×[1/{(\(\frac{3}{4}\))(1+(tany\()^{2}\))}]×{1/(cosy\()^{2}\)}dy
=∫[-p\(\frac{i}{6}\),p\(\frac{i}{6}\)] dy=(2pi\(\sqrt{\quad}\)3)/9

これらの計算結果を用いると
∫[0,1] 1/{(\(x^{3}\))+1}dx={(log2)/3}+{(pi\(\sqrt{\quad}\)3)/9}
である。

ここからは、余計な話ですが、次の不定積分の公式を用いるととても楽です。

∫{(\(x^{3}\))+(\(a^{3}\))}^(-1)dx

=[1/{(\(\sqrt{\quad}\)3)\(a^{2}\)}]arctan[{2x-a}/{(\(\sqrt{\quad}\)3)a}]
+{1/(3\(a^{2}\))}log(x+a)-{1/(6\(a^{2}\))}log{(\(x^{2}\))-ax+(\(a^{2}\))}
　　　　　　　　　+C　　　　(ただし、Cは積分定数）