まず、△ABCにおいて
→　→　→　\(\vec{AB}\)＋BC＋CA＝０
よって
→ 　→ → → \(\vec{CA}\)・(AB＋BC＋CA)＝a＋c＋|CA|^2＝０・・・①
同様にして
\(\vec{b}\)＋a＋|AB|^2＝０・・・②
\(\vec{b}\)＋c＋|BC|^2＝０・・・③
①－③より
→ \(\vec{a}\)－b＝|BC|^2－|CA|^2
②－①より
→ \(\vec{b}\)－c＝|CA|^2－|AB|^2
③－②より
→ \(\vec{c}\)－a＝|AB|^2－|BC|^2
(a-b)(b-c)(c-a)＝０だから
a＝bまたはb＝cまたはc＝a
以上のことから
AB＝BCまたはBC＝CAまたはCA＝AB
特に
a＝b＝cのとき
AB＝BC＝CA
したがって
△ABCは
二等辺三角形または正三角形である。