今日、予備校でA(n+1)=sqrt{A(n)+2}の一般項を求められることを習い、解答を思いつき
ました。ところで、ハサミウチの定理を使った解法はないのでしょうか？
私は、ずいぶんハサミウチの定理を用いることを考えたのですが、
積を和に直すために「log」をつけると、きれいな式にならず、「log」をつけた後に、
評価する方法もなかなかうまくきませんでした。

(解答）　
(1)
まず、帰納法により 0≦a(n)≦1・・・(*)を示す。
(Ⅰ）　n=0のとき成立する。
(Ⅱ）　0以上のある n に対して (*)　が成り立つと仮定すると、
sqrt(\(\frac{1}{2}\))≦sqrt[{a(n)+1}/2]≦1
0≦a(n+1)≦1
(Ⅰ）,(Ⅱ）より、　(*)が成り立つ。

(2)
a(n)の一般項を求める。
(*)より、a(n)=cosX(n) 　(0≦X(n)≦1)とおける。
このとき、与えられた漸化式は
cosX(n+1)=sqrt[{cosX(n)+1}/2]
=sqrt[(cos{X(n)/2}\()^{2}\)]
=cos{X(n)/2}

0≦　X(n+1),X(n)/2　≦1　であるから、
X(n+1)=X(n)/2, X(0)=p\(\frac{i}{2}\) (pi=πとおく。）
したがって、a(n)=cos{p\(\frac{i}{2}\)^(n+1)}

(3)
ここで、S(n)=a(1)*a(2)*・・・*a(n-1)*a(n)とおく。
S(n)*sin{p\(\frac{i}{2}\)^(n+1)}=(\(\frac{1}{2}\))*S(n-1)*sin(pi/\(2^{n}\))
この漸化式を繰り返し用いて、

S(n)*sin{p\(\frac{i}{2}\)^(n+1)}={(\(\frac{1}{2}\))^(n-1)}*S(1)*sin(p\(\frac{i}{4}\))
=(\(\frac{1}{2}\)\()^{n}\)

したがって、
S(n)=[{p\(\frac{i}{2}\)^(n+1)}/sin{p\(\frac{i}{2}\)^(n+1)}]*(\(\frac{2}{p}\)i)

ゆえに、
lim[n→∞] S(n)=\(\frac{2}{p}\)i

答えを見ると、偶然 \(\frac{2}{p}\)i となっていますが、Wallisの公式と関係があるのでしょうか？
どなたか、教えてください。ただの偶然なんでしょうか？

「予備校でA(n+1)=sqrt{A(n)+2}の一般項を求められることを習い」とありますが、
ここでその一般項の求め方を教えてください。
また、

＞(解答）　
＞(1)
＞まず、帰納法により 0≦a(n)≦1・・・(*)を示す。
＞途中略　　a(n)の一般項を求める。
＞(*)より、a(n)=cosX(n) 　(0≦X(n)≦1)とおける。
＞このとき、与えられた漸化式は
＞cosX(n+1)=sqrt[{cosX(n)+1}/2]
=sqrt[(cos{X(n)/2}\()^{2}\)]
=cos{X(n)/2}

＞0≦　X(n+1),X(n)/2　≦1　であるから、
＞X(n+1)=X(n)/2, X(0)=p\(\frac{i}{2}\) (pi=πとおく）

とありますが、cosX(n+1)=cos{X(n)/2}と
0≦　X(n+1),X(n)/2　≦1　
{多分0≦　cos{X(n+1)},cos{X(n)/2}　≦1の誤り？}
から、X(n+1)=X(n)/2とできますか？
X(n+1)=－X(n)/2の場合はどうでしょうか？

申し訳ありませんでした。自分の解答に間違いがありますので
訂正させていただきます。

訂正１
(2)の部分の２行目
(*)より、a(n)=cosX(n) 　(0≦X(n)≦1)とおける。
とありますが、正しくは
(0≦X(n)≦p\(\frac{i}{2}\))
です。

訂正２
(２）の部分の７行目
0≦　X(n+1),X(n)/2　≦1　であるから
とありますが、正しくは
0≦　X(n+1),X(n)/2 ≦p\(\frac{i}{2}\)
です。

解答におかしな点、計算ミス等がありましたら、どうぞ、ご指摘ください。

予備校で習ったものを自分なりに少しではありますが、一般化してみました。ただし、
下の解答以外でもルートの中の定数項がなければ簡単に解けます。これは、今回は考え
ないことにします。この解法で解けるのは、下のように非常に厳しい条件がある場合の
みです。（私の推論が間違っている可能性は十分ありますが。）問題のときと同じよう
にやれば解けますので、解答は簡単に書かせていただきます。


A(n+1)=sqrt[(\(\frac{k}{2}\)){A(n)+k}] かつ　0 ≦A(1)≦ k
かつ　k ＞ 0 のとき


(1)　数学的帰納法により　0 ≦A(n)≦ k が成り立つ。

(2) (1)より、A(n)=kcos{X(n)} (0≦X(n)≦p\(\frac{i}{2}\))
とおける。
与えられた漸化式より
A(n+1)=sqrt[(\(\frac{k}{2}\)){kcos[X(n)]+k}]
=kcos{X(n)/2}
したがって、cos{X(n+1)}=cos{X(n)/2}
さらに、　0 ≦　X(n+1), X(n)/2 ≦ p\(\frac{i}{2}\)
であるから　X(n+1)= X(n)/2

ここで、一つ問題になることがある。
それは、A(1)からX(1)を定めることが困難であることだ。ここでは、高校数学の範囲を
越えてしまうが「cos」の逆関数を用いて表すことにする。
X(1)=arccos{A(1)/k}

したがって、求めるA(n)の一般項は
A(n)=kcos{X(1)/2^(n-1)}
=kcos[arccos{A(1)/k}/2^(n-1)]
である。


もし、なぜこの仮定、条件のもとでしか解けないのか気になる場合は、また、お返事を
ください。お答えします。(私のわかる範囲の中でしか答えられませんが）

X(n+1)=X(n)/2とできますか？
X(n+1)=－X(n)/2の場合はどうでしょうか？
という質問ですが、

0≦ X(n+1), X(n)/2 ≦p\(\frac{i}{2}\)
という条件から
X(n+1)=－X(n)/2
となることは、ありません。