問１

円Ｏの方程式はｘ² ＋ｙ² ＝４
円Ａの方程式は（ｘ－５）² ＋ｙ² ＝２５
この２円の共通接線Ｌの方程式をｙ＝ａｘ＋ｂとすると、
円Ｏと接線Ｌは接するから、連立方程式からでてくる２次方程式の解は
重解となるので、判別式はＤ＝０より、
ｘ² ＋（ａｘ＋ｂ）² ＝４
（１＋ａ² ）ｘ² ＋２ａｂｘ＋ｂ² －４＝０
Ｄ＝４ａ² ｂ² －４（１＋ａ² ）（ｂ² －４）＝０
４ａ² ｂ² －４ｂ² ＋１６－４ａ² ｂ² ＋１６ａ² ＝０
４ｂ² ＝１６ａ² ＋１６
ｂ² ＝４ａ² ＋４
∴ｂ＝\(\pm\)２\(\sqrt{\quad}\)（ａ² ＋１）……①
円Ａと接線Ｌも接するから、Ｄ＝０より、
（ｘ－５）² ＋（ａｘ＋ｂ）² ＝２５
ｘ² －１０ｘ＋２５＋ａ² ｘ² ＋２ａｂｘ＋ｂ² －２５＝０
（１＋ａ² ）ｘ² ＋（２ａｂ－１０）ｘ＋ｂ² ＝０
Ｄ＝（２ａｂ－１０）² －４（１＋ａ² ）ｂ² ＝０
４ａ² ｂ² －４０ａｂ＋１００－４ｂ² －４ａ² ｂ² ＝０
４ｂ² ＋４０ａｂ－１００＝０
ｂ² ＋１０ａｂ－２５＝０……②
②に①を代入して、
４ａ² ＋４＋１０ａ｛\(\pm\)２\(\sqrt{\quad}\)（ａ² ＋１）｝－２５＝０
\(\pm\)２０ａ\(\sqrt{\quad}\)（ａ² ＋１）＝２１－４ａ²
両辺を２乗して、
４００ａ² （ａ² ＋１）＝４４１－１６８ａ² ＋１６ａ⁴
４００ａ⁴ ＋４００ａ² －４４１＋１６８ａ² －１６ａ⁴ ＝０
３８４ａ⁴ ＋５６８ａ² －４４１＝０
たすきがけで因数分解をすると、
３８４　５６８　－４４１
１６　　＼／　　－９→　－２１６
２４　　／＼　　４９→　　７８４（＋
─────────────────
　　　　　　　　　　　　　５６８
（１６ａ² －９）（２４ａ² ＋４９）＝０
（２４ａ² ＋４９）＞０より、
（１６ａ² －９）＝０
１６ａ² ＝９
　　　　９
ａ² ＝───
　　　１６
　　　　　３
∴ａ＝\(\pm\)───
　　　　　４
①に代入して、
　　　　　　　　　３
∴ｂ＝\(\pm\)２\(\sqrt{\quad}\)｛（\(\pm\)─）² ＋１｝
　　　　　　　　　４
　　　　　　　　９　　　　　　　５　　５
　　＝\(\pm\)２\(\sqrt{\quad}\)（──＋１）＝\(\pm\)２・─＝\(\pm\)─
　　　　　　　１６　　　　　　　４　　２
したがって、共通接線Ｌの方程式は２つあって、
　　３　　５　　　　　　　　３　　５
ｙ＝─ｘ＋─　または、ｙ＝－─ｘ－─　……（答）
　　４　　２　　　　　　　　４　　２

問２

共通接線ｙ＝ａｘ＋ｂと円ｘ² ＋ｙ² ＝１を連立して、
ｘ² ＋（ａｘ＋ｂ）² ＝１
（１＋ａ² ）ｘ² ＋２ａｂｘ＋ｂ² －１＝０
Ｄ＝０より、ｂ＝\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)（ａ² ＋１）……①
共通接線ｙ＝ａｘ＋ｂと放物線ｙ＝ｘ² ＋６を連立して、
ａｘ＋ｂ＝ｘ² ＋６
ｘ² －ａｘ＋６－ｂ＝０
Ｄ＝０より、ａ² ＝２４－４ｂ……②
②に①を代入して、
ａ² ＝２４－４｛\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)（ａ² ＋１）｝
\(\pm\)４\(\sqrt{\quad}\)（ａ² ＋１）＝２４－ａ²
両辺を２乗して、
１６（ａ² ＋１）＝５７６－４８ａ² ＋ａ⁴
ａ⁴ －６４ａ² ＋５６０＝０
たすきがけの因数分解ができないので、解の公式を使って、
ａ² ＝３２\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)４６４＝３２\(\pm\)４\(\sqrt{\quad}\)２９
∴ａ＝\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)（３２\(\pm\)４\(\sqrt{\quad}\)２９）
これを①に代入して、
∴ｂ＝\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)（３２\(\pm\)４\(\sqrt{\quad}\)２９＋１）＝\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)（３３\(\pm\)２\(\sqrt{\quad}\)１１６）
　　＝\(\pm\)（\(\sqrt{\quad}\)２９\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)４）
したがって、
共通接線は４本あり、
ｙ＝\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)（３２\(\pm\)４\(\sqrt{\quad}\)２９）ｘ\(\pm\)（\(\sqrt{\quad}\)２９\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)４）　……（答）

ちょっとこれは美しくないので、問題のどこかに間違いがないかな？