定義域、値域の検証は省略して

arcsiny=sinx
x=arcsin(arcsiny)
x,yを入れ替えて
y=arcsin(arcsinx) かな？

こんにちは。

（ 答案 ）
（１） ｙ＝ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（ｓｉｎ（ｘ））　につぃて、　
ｚ＝ｇ（ｘ）＝ｓｉｎ（ｘ）　は周期関数であるから、主たる値域に注目して
定義域　－π／２≦ｘ≦π／２　を考えることにする。

（２） いま、　０＜ｈ　なる十分に小さい任意の　ｈ　について、
ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ＋ｈ）＝ｓｉｎ（ｓｉｎ(ｘ））－ｓｉｎ（ｓｉｎ（ｘ＋ｈ））
＝…（ 略 ）…
＝－２ｃｏｓ[ｓｉｎ{ｘ＋（ｈ／２）}ｃｏｓ（ｈ／２）]ｓｉｎ[ｃｏｓ{ｘ＋（ｈ／２）}ｓｉｎ（ｈ／２）]
＜０
したがって、　ｙ　は定義域で単調に増加する。　…　［１］

（３） ｇ（ｘ）　は定義域で単調増加であることは既知として、　ｚ　の値域は　[－１，１]　である。
よって、　ｙ　の値域は　[－ｓｉｎ（１），ｓｉｎ（１）]　となる。
ここに、　［１］　から　ｙ　の値域を定義域とする逆関数　ｈ（ｘ）　が存在する。

（４） 逆関数の記法から、　ｙ＝ｓｉｎ（ｓｉｎ（ｘ））　について、　ｘ＝ｈ（ｙ）　であるから
ｙ＝ｓｉｎ（ｓｉｎ（ｈ（ｙ）））
しかして、　ｓｉｎ^(-1)（ｓｉｎ^(-1)（ｙ））＝ｈ（ｙ）
ここで、　ｙ∈[－ｓｉｎ（１），ｓｉｎ（１）]　を　ｘ　に書き換えると
ｈ（ｘ）＝ｓｉｎ^(-1)（ｓｉｎ^(-1)（ｘ））　（ ｜ｘ｜≦ｓｉｎ（１）　…　（ 答 ）

のようになりました。

えーっと、この問題で
Arcsinもしくはsin-1を使わないでの解答って考えられないですか？

arcsine を使わないで表すのは無理ではないかと思いますが，
無理だということを示せたわけではありません。

窮余の策として，ほとんどインチキですが，複素関数を使うと
arcsin(x)=i*log(-ix+(1-\(x^{2}\)\()^{2}\)) と表せるので，
これを使えば arcsine を用いない表現は得られると思います。