∀x∈[-1,1]に対して、0＜f(x)＜1を成り立たせるような
a,b(∈R)が存在すると仮定する。

仮定より、次の3式が成り立つ。
0＜ f（0） ＜1　⇔　0＜ b ＜1・・・（A）
0＜ f（1） ＜1　⇔　0＜ a＋b＋1 ＜1　⇔　－a－1＜ b ＜－a・・（B）
0＜ f（－1）＜1　⇔　0＜－a＋b＋1 ＜1　⇔　a－1＜ b ＜a・・・（C）

（A），（B），（C）を図示すると、これらを同時にa，bは存在しない。
これは、仮定に矛盾する。

したがって、
∀x∈［－1，1］に対して、0＜f（x）＜1を成り立たせるようなa，b（∈R）は存在しない。

完全解答ではありませんが、

どんなa,bに対しても
区間　－１＜ｘ＜１のすべてのｘに対して
　０＜ｆ（ｘ）＜１である
が、成り立たない

すなわち

区間　－１＜ｘ＜１のすべてのｘに対して
　０＜ｆ（ｘ）＜１
を満たさない実数ａ，ｂが存在する

を示せば良いわけです。

ｆ（ｘ）＝ｘ^2＋ａｘ＋ｂの最大値・最小値を求めるときに
ｙ＝ｆ（ｘ）の頂点のｘ座標による場合分けをしますね。
頂点のｘ座標は－ａ／２なので
ａの値によって、最大値、最小値が変わってきます。
その場合分けの区分に応じて
ある特定のａ，ｂで、
０＜ｆ（ｘ）＜１
を満たさないａ，ｂの組が１組でも見つかればいいと思います。

場合分けは、４つになると思います。