これは、私がニュートンの補間法を見ていて、数列に使えないかなと思
い、考えついた方法です。数学セミナーリーディングス１９９０「新し
い高校数学の展望」（日本評論社）Ｐ．１０７～Ｐ．１１１に掲載され
ています。
ニュートンの「第ｎ階差が一定になるとき、もとの式はｎ次関数となる」
に着目し、容易にｎ次関数を求められる規則性はないかと考えて、初項
（第１項）の前にあるだろう幻の０番目（第０項）に注目したわけです。
例えば、ａ_n ＝ｎ² ＋３ｎ＋５のとき、
　　　　①　　②　　③　　④　　……
　　　　９　１５　２３　３３　　……
　　　　　Ｖ　　Ｖ　　Ｖ　　……
第１階差　６　　８　１０　　……
　　　　　　Ｖ　　Ｖ　　……
第２階差　　２　　２　　……

第２階差が一定となるので、もとの式は２次関数となる。
そこで、幻の０番目を考えてみると、
０番目∥　①　　②　　③　　④　　……
　　５∥　９　１５　２３　３３　　……
　　　Ｖ∥　Ｖ　　Ｖ　　Ｖ　　……
　　　４∥　６　　８　１０　　……
　　　　Ｖ∥　Ｖ　　Ｖ　　……
　　↑　２∥　２　　２　　……
ここに注目

２次関数ｙ＝ａｘ² ＋ｂｘ＋ｃと、０番目の関係がどうな
ればよいかと考えて、ｘ＝１，２，３，……と代入してみました。
０番目∥　　①　　　　　　②　　　　　　　③　　　　　　　　　④　　　……
　　ｃ∥ａ＋ｂ＋ｃ　４ａ＋２ｂ＋ｃ　９ａ＋３ｂ＋ｃ　１６ａ＋４ｂ＋ｃ　……
　　　Ｖ∥　　　　Ｖ　　　　　　　Ｖ　　　　　　　Ｖ　　　　　　　……
　ａ＋ｂ∥　　３ａ＋ｂ　　　　５ａ＋ｂ　　　　７ａ＋ｂ　　　　　　……
　　　　Ｖ∥　　　　　　Ｖ　　　　　　　　Ｖ　　　　　　　　……
　　　２ａ∥　　　　　２ａ　　　　　　　２ａ　　　　　　　　……

そこで、２次関数のときの「幻の０番法」の公式が誕生したわけです。
｛　　ｃ＝５
｛ａ＋ｂ＝４
｛　２ａ＝２
より、
ａ＝１，ｂ＝３，ｃ＝５
ｙ＝ｘ² ＋３ｘ＋５となります。
したがって、ａ_n ＝ｎ² ＋３ｎ＋５

３次関数ｙ＝ａｘ³ ＋ｂｘ² ＋ｃｘ＋ｄのときも同様にして、
公式をつくりました。この２つぐらいで良いようです。
｛　　　　ｄ＝
｛ａ＋ｂ＋ｃ＝
｛６ａ＋２ｂ＝
｛　　　６ａ＝