完全解答ではありませんが・・

１）
(2x+3)/(\(x^{2}\)-x+1)=(2x-1)/(\(x^{2}\)-x+1) + 4/(\(x^{2}\)-x+1)
と分解して
(2x-1)/(\(x^{2}\)-x+1)の積分は、分子が分母を微分したものなので
log|\(x^{2}\)-x+1|となって
4/(\(x^{2}\)-x+1)の積分は
分子を平方完成して　x-(\(\frac{1}{2}\))=(\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{3}{2}\))tanθ
と置換するとよいでしょう。

２）
arctanx=tと置換すればよいでしょう。

３）
x/(x-2x\()^{2}\)=\(\frac{1}{x}\)ですが・・・
問題はこれでいいですか？

wakkyさんの解答ですが
１）
〉(2x+3)/(\(x^{2}\)-x+1)=(2x-1)/(\(x^{2}\)-x+1) + 4/(\(x^{2}\)-x+1)
〉と分解して
〉(2x-1)/(\(x^{2}\)-x+1)の積分は、分子が分母を微分したものなので
〉log|\(x^{2}\)-x+1|となって
ここまでは理解できましたが
〉4/(\(x^{2}\)-x+1)の積分は平方完成して
4/(\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{3}{2}\))tan^-1{(x-\(\frac{1}{2}\))/(\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{3}{2}\))まで解けましたが、
〉x-(\(\frac{1}{2}\))=(\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{3}{2}\))tanθと置換するとよいでしょう
ここから先がまったくわかりません教えてください


２）
〉arctanx=tと置換すればよいでしょう。
つまりtan^-1=tなのですから∫txdxとなるのは解かるのですが
ここから先がまったくわかりません教えてください


３）
問題が∫x/(1-2x\()^{2}\)　dxだとするとどうなりますか