ベクトルABを\(\vec{AB}\)と書くことにする。

まず内心を求める。
∠Aの２等分線と直線BCの交点をD、内心をIとする。
角の２等分線定理より
BD:CD=c:b, BD=ac/(b+c)
AI:ID=b+c:a

ゆえに、\(\vec{AI}\)=\(\vec{AD}\)(b+c)/(a+b+c)
=(b\(\vec{AB}\)+c\(\vec{AC}\))(b+c)/(a+b+c)=b\(\vec{AB}\)+c\(\vec{AC}\)/(a+b+c)

以上より
\(\vec{OI}\)=\(\vec{OA}\)+\(\vec{AI}\)=\(\vec{a}\)+{b(\(\vec{b}\)-\(\vec{a}\))+c(\(\vec{c}\)-\(\vec{a}\))}/(a+b+c)
=(a\(\vec{a}\)+b\(\vec{b}\)+c\(\vec{c}\))/(a+b+c)
={a(a1,a2)+b(b1,b2)+c(c1,c2)}/(a+b+c)
={(aa1+bb1+cc1)/(a+b+c),(aa2+bb2+cc2)/(a+b+c)}
これが、求める内心の座標である。

次に、傍心を求める。ただし、３つの傍心のうちで、直線BCに関して、
Aと反対側にある傍心を求めることにする。
この点をHとする。Hは∠Aの２等分線上にあるから、

\(\vec{AH}\)=t\(\vec{AI}\)=(bt\(\vec{AB}\)+ct\(\vec{AC}\))/(a+b+c)・・・(い）

\(\vec{AH}\)=\(\vec{AC}\)+s\(\vec{CH}\)
=\(\vec{AC}\)+(as\(\vec{AC}\)+bs\(\vec{CB}\))/(a+b)
={(a+b)\(\vec{AC}\)+as\(\vec{AC}\)+bs\(\vec{AB}\)-bs\(\vec{AC}\)}/(a+b)
={bs\(\vec{AB}\)+(as-bs+a+b)\(\vec{AC}\)}/(a+b)・・・・・(ろ)

\(\vec{AB}\)と\(\vec{AC}\)は線形独立であるから、(い)、(ろ)を係数比較して、s,tを定めると
t=(a+b+c)/(b+c-a)

ゆえに、
\(\vec{AH}\)=(a+b+c)\(\vec{AI}\)/(b+c-a)
=(b\(\vec{AB}\)+c\(\vec{AC}\))/(b+c-a)

\(\vec{OH}\)=\(\vec{OA}\)+\(\vec{AH}\)
=\(\vec{a}\)+{b(\(\vec{b}\)-\(\vec{a}\))+c(\(\vec{c}\)-\(\vec{a}\))}/(b+c-a)
=(-a\(\vec{a}\)+b\(\vec{b}\)+c\(\vec{c}\))/(b+c-a)
={-a(a1,a2)+b(b1,b2)+c(c1,c2)}/(b+c-a)
={(-aa1+bb1+cc1)/(b+c-a),(-aa2+bb2+cc2)/(b+c-a)}
これが、求める傍心の座標である。