角Ａ＝θ 角Ｃ＝90度の直角三角形ＡＢＣに一辺の長さが１の正三角形
ＰＱＲを内接させる。ただし、点Ｐ.Ｑ.Ｒはそれぞれ辺ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ
上にあるものとする。また、ΔＡＰＲ，ΔＢＱＰの外接円の中心をそれ
ぞれＯ1，Ｏ2とする。次の各問に答えよ。
(1) Ｏ1Ｐ、Ｏ2Ｐの長さをそれぞれθを用いて表せ。
また、角Ｏ1ＰＯ2の大きさを求めよ。
(2) Ｏ1Ｏ2の長さの最小値を求めよ。
また、そのときのθの値を求めよ。
(1）はまあ、分かったんですが、（正弦定理を使う）
(2)のΔＰＯ1Ｏ2に余弦定理を使うところまで分かったのですが、
そこから分からないんです。
(1)もあっていないかもしれないので、わかりやすい解説を宜しくお願いします。
問１
正三角形△ＰＱＲの１辺ＰＲ＝ＲＱ＝ＰＱ＝１
補助線Ｏ1 ＲとＯ2 Ｑを引く。
円周角と中心角の関係より、
∠ＰＯ1 Ｒ＝２θ
∠ＰＯ2 Ｑ＝２∠Ｂ＝２（９０°－θ）
△ＰＯ1 Ｒにおいて、Ｏ1 Ｐ＝Ｏ1 Ｒ＝ｒ1 （半径）とすると、余弦定理より、
１2 ＝ｒ1 2 ＋ｒ1 2 －２ｒ1 ｒ1 cos２θ
ｒ1 2 （２－２cos２θ）＝１
１ １
ｒ1 2 ＝───────＝─────────
２－２cos２θ ２（１－cos２θ）
１
＝─────
４sin2 θ
１
ｒ1 ＝──── ……①
２sinθ
△ＰＯ2 Ｑにおいても、同様にして、
１
ｒ2 ＝──── ……②
２cosθ
∠Ｏ1 ＰＯ2 ＝∠Ｏ1 ＰＲ＋∠ＲＰＱ＋∠Ｏ2 ＰＱ
＝（９０°－θ）＋６０°＋θ＝１５０°……（答）
問２
△Ｏ1 ＰＯ2 において、Ｏ1 Ｏ2 ＝ｘとおくと、①②と余弦定理より、
１ １ １
ｘ2 ＝─────＋─────－──────・cos１５０°
４sin2 θ ４cos2 θ ２sinθcosθ
cos2 θ＋sin2 θ －\(\sqrt{\quad}\)３／２
＝────────－──────
４sin2 θcos2 θ ２sinθcosθ
１ \(\sqrt{\quad}\)３
＝─────＋─────
sin2 ２θ ２sin２θ
２＋\(\sqrt{\quad}\)３sin２θ
＝────────
２sin2 ２θ
最小値を求めるために、ｘ2 ＝ｙとおき、微分する。
\(\sqrt{\quad}\)３cos２θ・２・２sin2 ２θ－（２＋\(\sqrt{\quad}\)３sin２θ）４sin２θ・cos２θ・２
ｙ′＝────────────────────────────────────
４sin4 ２θ
４\(\sqrt{\quad}\)３sin2 ２θcos２θ－８\(\sqrt{\quad}\)３sin2 ２θcos２θ－１６sin２θcos２θ
＝─────────────────────────────────
４sin4 ２θ
－４\(\sqrt{\quad}\)３sin2 ２θcos２θ－１６sin２θcos２θ
＝──────────────────────
４sin4 ２θ
（－２\(\sqrt{\quad}\)３sin２θ－８）sin４θ
＝───────────────
４sin4 ２θ
ｙ′＝０と、角の範囲０°＜θ＜９０°より、
sin４θ＝０より、θ＝４５°
－２\(\sqrt{\quad}\)３sin２θ－８＝０より、sin２θ＝－４／\(\sqrt{\quad}\)３＜－１となり解なし
したがって、
θ＝４５°のとき、最小値は
ｙ＝ｘ2
２＋\(\sqrt{\quad}\)３sin２θ ２＋\(\sqrt{\quad}\)３・１ ２＋\(\sqrt{\quad}\)３
＝────────＝───────＝─────
２sin2 ２θ ２・１2 ２
平方根をとると、
\(\sqrt{\quad}\)（２＋\(\sqrt{\quad}\)３） \(\sqrt{\quad}\)（４＋２\(\sqrt{\quad}\)３） \(\sqrt{\quad}\)３＋１
ｘ＝───────＝────────＝──── ……（答）
\(\sqrt{\quad}\)２ ２ ２