＞微分はチンプンカンプンなんで

ちょっと意味が分からないコメントですね。
もし解析の授業を受けていて｢微分はチンプンカンプン｣だったらこれは問題です。教科書
を読んだ方がイイでしょう。
もし趣味で微積に関わっていらっしゃるなら、もっと落ち着いて｢楽しんで｣教科書を読む
べきでしょうね。
｢ちょっとだけ微積の世界を覗いてみたい｣のも悪くはありませんが、でしたら難問に手を
出すべきではありません････と言いたいトコロですが、コンピュータソフトを使えば意外
と簡単に｢微積の世界｣を覗けるものです。
ってなワケで、ここではフリー数式処理ソフトMAXIMA(ウィンドウズ版)を利用し
て問題を見てみましょう。これなら｢微分はチンプンカンプン｣でも見よう見まねで解く事
が出来ますし、ましてや｢微分はチンプンカンプン｣ならここで微分の解説をするのもアレ
ですし、だったら初めから教科書を読んだ方がマシだからです。

MAXIMAを英語の指示(と言っても簡単な英語ですが)に従ってダウンロード/イン
ストールすると、デスクトップ上にアイコンが出来る筈です。それをダブルクリックすると、

Maxima 5.9.3 http://maxima.sourceforge.net
Using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.7 (aka GCL)
Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING.
Dedicated to the memory of William Schelter.
This is a development version of Maxima. The function bu\(g_{r}\)eport()
provides bug reporting information.
(%i1)

と書かれた画面が立ち上がります。これで起動は成功です。
(%i1)と言うのは一種のプロンプトで｢入力待ち｣と言った意味です。ここのアトにコマン
ドを入力していけばMAXIMAが全て計算してくれます。ではやってみましょう。

＞(1)y=\(e^{s}\)in^(-1)xについて次に答えよ。
＞(a) (1-\(x^{2}\))y''-xy'-yを計算せよ。


MAXIMAでの微分コマンドは

diff(関数,微分したい変数)

です。
ここで次のように(%i1)のアトにセミコロン(;)まで入力して下さい。

(%i1)y:exp(asin(x));

ここでMAXIMAの約束事ですが、

y:⇒yと言う変数名で以下の式を定義せよ
exp()⇒ネピア数eの指数関数
asin()⇒三角関数の逆関数、arcsinの意味

です。つまり問題文のy=\(e^{s}\)in^(-1)xそのものを打ち込んでるんですね。ではリターン
キーを押して下さい。

asin(x)
(%o1) %e


と言った出力が表示される筈です。これはまさしくy=\(e^{s}\)in^(-1)xの事で、この時点では
微分もクソもありません。単にyと言う関数を定義しただけ、ですね。
ところで(%o1)が出力されたアト、同時に(%i2)と言った記号も出力されている筈です。
これは新しい入力待ち、ですね。ここにまたコマンドを打ち込めば別の計算を行ってくれ
るワケです。
いよいよ微分してみましょう。次のコマンドをセミコロン(;)まで打ち込んでみましょう。

(%i2) y1:diff(y,x);

ここでは新しく関数y1を定義しています。内訳は、｢yをxで微分したもの｣です。yは先ほ
ど(%i1)で定義した関数ですね。
リターンキーを押すと次のように出力してくれます。

asin(x)
%e
(%o2) ------------
2
sqrt(1 - x )

つまり与えられたyの1階微分は

y'＝exp(arcsin(x))/\(\sqrt{\quad}\)(1－\(x^{2}\))

のようです。
また入力待ち(%i3)が表示されているでしょうから、今度はまた新しい関数y2を次のよう
に入力してみましょう。

(%i3) y2:diff(y1,x);

y2は｢y1をxで微分したモノ｣です。これが2階微分になりますね。
リターンキーを押すと、

asin(x) asin(x)
%e x %e
(%o3) --------- + -----------
2 2 \(\frac{3}{2}\)
1 - x (1 - x )

つまり2階微分y"は

y"＝exp(arcsin(x))/(1－\(x^{2}\))＋x*exp(arcsin(x))/{(1－\(x^{2}\))^(\(\frac{3}{2}\))}

のようです。
では、また入力待ち(%i4)があるでしょうから、問題の関数をaとして定義してみましょうか。

(%i4) a:(1-\(x^{2}\))*y2-x*y1-y;

リターンキーを押すと、

asin(x) asin(x) asin(x)
2 %e x %e x %e
(%o4) (1 - x ) (--------- + -----------) - ------------
2 2 \(\frac{3}{2}\) 2
1 - x (1 - x ) sqrt(1 - x )
asin(x)
- %e

つまり(a)の解は

(1－\(x^{2}\))*【exp(arcsin(x))/(1－\(x^{2}\))＋x*exp(arcsin(x))/{(1－\(x^{2}\))^(\(\frac{3}{2}\))}】
　　　　　　　　　　　　　　　　－x*exp(arcsin(x))/\(\sqrt{\quad}\)(1－\(x^{2}\))－exp(arcsin(x))

となります。
見辛いようでしたら、式を展開する事も出来ます。
式を展開する場合のコマンドは

expand(展開したい式);

で記述できるので、(%i5)のアトで

(%i5) expand(a);

と入力してリターンキーを押すと、

asin(x) 2 asin(x) asin(x)
x %e x %e %e
(%o5) - ------------ - ------------ + ---------
2 2 2
sqrt(1 - x ) 1 - x 1 - x
3 asin(x) asin(x)
x %e x %e asin(x)
- ------------ + ----------- - %e
2 \(\frac{3}{2}\) 2 \(\frac{3}{2}\)
(1 - x ) (1 - x )

と数式を展開してくれます。

＞(b) (a)の結果の両辺をｋ回微分せよ。
＞(c) y^(n) (0)を求めよ。

(a)で関数aを定義したので、

a1:diff(a,x);
a2:diff(a1,x);
a3:･･････

と計算していけば規則性が見えてくるかもしれません。
お試し下さい。

(2)次の導関数を求めよ。
　(a) y=(sinx\()^{c}\)osx
(b) y=xtan^(-1)x-\(\frac{1}{2}\)log(1+\(x^{2}\))
(c) y=log(x+\(\sqrt{\quad}\)(\(x^{2}\)+1)

これらもMAXIMAにコマンドを打ち込めば一丁上がりでしょう。ご自分で試して
みてください。
なお、コマンドは

(a)
diff(sin(x\()^{c}\)os(x),x);

(b)
diff(x*atan(x)-\(\frac{1}{2}\)*log(1+\(x^{2}\)),x);

(c)
diff(log(x+sqrt(\(x^{2}\)+1)),x);

です。

参考文献:

MAXIMA日本語マニュアル

MAXIMAの手引き

Maxima入門ノート

「微分はチンプンカンプン」では質問に答えようがないですね（何を使って何処から話し
たらいいか分からないからです)

高次導関数が出てきてますから大学生と思いますが
高校の教科書などで、合成関数の微分などを確認なさるのが先決でしょう（或いはその
単位を諦めるか)

問題としては、きわめて基本的なものなんですよ。（だからどなたも、答えようがなかっ
たんでしょうね)

(1)については、できませんでした。
(2)については、できましたので、回答させていただきます。

(a) 両辺の自然対数をとると
logy=(cosx)log(sinx)
各辺をxについて、微分すると
y'/y=-(sinx)log(sinx)+(cosx\()^{2}\)/sinx
したがって、求める導関数は
y'=-(sinx)^(1+cosx)log(sinx)+(cosx\()^{2}\)(sinx)^(cosx-1)

(b) y'=arctanx + x/(1+\(x^{2}\)) - (\(\frac{1}{2}\))*2x/(1+\(x^{2}\))
　　　=arctanx

(c) y'=[1+{2\(\frac{x}{2}\)\(\sqrt{\quad}\)(1+\(x^{2}\))}]/{x+\(\sqrt{\quad}\)(1+\(x^{2}\))}
={x+\(\sqrt{\quad}\)(1+\(x^{2}\))}/[x+{\(\sqrt{\quad}\)(1+\(x^{2}\))}*{\(\sqrt{\quad}\)(1+\(x^{2}\))}]
=1/\(\sqrt{\quad}\)(1+\(x^{2}\))

質問〈３２００〉の(1)y=\(e^{s}\)in^(-1)xの問題で
yをxで微分したy'＝exp(arcsin(x))/\(\sqrt{\quad}\)(1－\(x^{2}\))
までは自力で解けましたが、
y"＝exp(arcsin(x))/(1－\(x^{2}\))＋x*exp(arcsin(x))/{(1－\(x^{2}\))^(\(\frac{3}{2}\))}
の特に分母についている\(\frac{3}{2}\)乗がどうしたらでてくるのか皆目見当がつきません。
詳しい解説をお願いしねがいします。

UnderBirdさんKINOさんありがとうございました。
(a)ですがなんとか解けたのですが、突詰めた結果が
０になってしまいました。
ですので(b)の問題は０をいくら微分しても０になってしまい解答にはなりません。
(1-\(x^{2}\))y''-xy'-yを微分するにしても「ライプニッツの公式」を使うにしても
０からどうやって手をつけていいのかわかりません。
詳しく説明をお願いします。

訂正です。

合成関数の微分をした結果出てくるものです。
y'={(1-\(x^{2}\))^(-\(\frac{1}{2}\))}*exp(arcsin(x))
を微分すると，
y''={(1-\(x^{2}\))^(-\(\frac{1}{2}\))}'*exp(arcsin(x))+{(1-\(x^{2}\))^(-\(\frac{1}{2}\))}*{exp(arcsin(x))}'
です。問題の箇所は {(1-\(x^{2}\))^(-\(\frac{1}{2}\))}' の部分だと思いますが，
これは u(w)=w^(-\(\frac{1}{2}\))，w=1-\(x^{2}\) と2つの関数の合成に分解すると，
(\(x^{a}\))'=ax^(a-1) という基本的な関数の導関数の公式を用いることにより，
d\(\frac{u}{d}\)w=(-\(\frac{1}{2}\))u^(-\(\frac{1}{2}\)-1)=(-\(\frac{1}{2}\))u^(-\(\frac{3}{2}\)), d\(\frac{w}{d}\)x=-2x
となるので，
{(1-\(x^{2}\))^(-\(\frac{1}{2}\))}'=d\(\frac{u}{d}\)x=(d\(\frac{u}{d}\)w)*(d\(\frac{w}{d}\)x)=(-\(\frac{1}{2}\))*{u^(-\(\frac{3}{2}\))}*(-2x)
=x*u^(-\(\frac{3}{2}\))=x*(1-\(x^{2}\))^(-\(\frac{3}{2}\))
となります。

これが「分母についている\(\frac{3}{2}\)乗が」でてくる理由です。

なお，ついでながら，(1) (a) はちょっと違った方法で解くことができます。

まず，y'={(1-\(x^{2}\))^(-\(\frac{1}{2}\))}*y と表せることから，
{(1-\(x^{2}\))^(\(\frac{1}{2}\))}*y'=y となります。
この両辺を x で微分すると
-x*{(1-\(x^{2}\))^(-\(\frac{1}{2}\))}*y'+{(1-\(x^{2}\))^(\(\frac{1}{2}\))}*y''=y'={(1-\(x^{2}\))^(-\(\frac{1}{2}\))}*y
となるので，両辺に (1-\(x^{2}\))^(\(\frac{1}{2}\)) をかけて整理すると，
(1-\(x^{2}\))y''-xy'=y
が得られます。よって (1-\(x^{2}\))y''-xy'-y=0.

(b) は関数の積に関する高階導関数の公式
{f(x)g(x)}^(n)
=f^(n)(x)g(x)+n*f^(n-1)(x)g'(x)+{n(n-1)/2}*f^(n-2)(x)g''(x)+...+f(x)g^(n)(x)
を利用して解きます。
この公式は「ライプニッツの公式」として教科書に載っていると思いますので
ご確認下さい。

y'' の係数の 1-\(x^{2}\) は2次式なので，3階以上の導関数は 0 になります。
また，y' の係数 -x は2回以上微分すると 0 になります。
これらのことに注意してライプニッツの公式を適用すると，k≧2 に対し
{(1-\(x^{2}\))y''}^(k)=(1-\(x^{2}\))y^(k+2)-2kxy^(k+1)-k(k-1)y^(k),
(xy')^(k)=xy^(k+1)+ky^(k)
となりますので，(1-\(x^{2}\))y''-xy'-y=0 の両辺を k 回微分することにより，
(1-\(x^{2}\))y^(k+2)-(2k+1)xy^(k+1)-{k(k-1)x+k+1}y^(k)=0
を得ます。この等式は k=0, 1 のときにも成立することを容易に確かめることが
出来ます。

(c) y(0)=y'(0)=1 であり，y^(k+2)(0)=(k+1)y^(k)(0) であることから，k≧1 に対し
y^(2k+1)(0)=(2k)*y^(2k-1)(0)=...=(2k)(2k-2)(2k-4)*...*2*y'(0)
=(2k)(2k-2)(2k-4)*...*2
となります。
また，
y^(2k)(0)=(2k-1)y^(2k-2)(0)=...=(2k-1)(2k-3)*...*3*1*y(0)
=(2k-1)(2k-3)*...*3*1
となります。