ｆに何らかの定義を与えていただかないと

例えば

ｆが全射である⇔ｆが全写である（言葉の言い換え)
⇔写像 f:A\(\vec{B}\) について、f(A):={f(a) |a∈A}とするとき、
f(A)=B が成り立つ（定義の確認）

としか答えようがないと思います

Ker(f) = O は f が単射であるための必要十分条件である.
Coker(f) = O は f が 全射であるための必要十分条件である.

だそうです。何の事やらサッパリ･･････(苦笑)。

この辺りは正直、純数学で集合やってないと分からんネタでしょうね。

ちなみにKerは核(多分Kernelの略称?)、Cokerは余核(多分Co-Kernelの略称?)だそうです。
何だそりゃ(笑)?

↓元ネタはコチラから(証明ナシですが)。
http://trout.math.cst.nihon-u.ac.jp/~ry\(\frac{u}{k}\)ougiyoukou.pdf