Ｚ＝ｆ（ｘ、ｙ）＝ｘ＾２－３（ｘ＋１）ｙ＾＋３ｙ＾４
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この部分はｙの何乗？

Ｚ_x＝Ｚ_y＝０を満たす（ｘ，ｙ）＝（ａ，ｂ）に対して
ｆ（ａ，ｂ）が極値の候補
（ｘ，ｙ）＝（ａ，ｂ）に対して
Ｚ_xx＞０かつＺ_xxＺ_yy－（Ｚ_xy）^2＞０なら
ｆ（ａ，ｂ）は極小
Ｚ_xx＜０かつＺ_xxＺ_yy－（Ｚ_xy）^2＞０なら
ｆ（ａ，ｂ）は極大
Ｚ_xxＺ_yy－（Ｚ_xy）^2＜０なら
ｆ（ａ，ｂ）は極値ではない
Ｚ_xxＺ_yy－（Ｚ_xy）^2＝０なら
これだけでは判定できない

wakky様
質問３２０３において大変失礼ながら一部問題を間違えて
しまいました。
抜けている部分はｙ＾２です。
よろしく御願い致します。

時間もなく、完全解答に至らないことをお許しください。
２変数関数の極値の問題は
私は、偏導関数を利用した方法しか知りません。
したがいまして
私が書きました方法が、私の知るすべてです。
陰関数の場合は、またちょっと違うようですけどね。
わたしも、この年になって、数学再開してますので
なかなか、しっくり行かないのです（汗
ご勘弁を・・・
まず、ご自分で試してみてください。

回答がよくわかりません。
詳しく教えて下さい。

z=f(x,y)=\(x^{2}\)-3(x+1)\(y^{2}\)+3\(y^{4}\)
\(z_{x}\)=2x-3\(y^{2}\),\(z_{y}\)=-6(x+1)y+12\(y^{3}\)
2x-3\(y^{2}\)=0,-6(x+1)y+12\(y^{3}\)=0を解くと
(x,y)=(0,0),(3,\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)2)
\(z_{x}\)x=2＞0,\(z_{x}\)y=-6y,\(z_{y}\)y=36\(y^{2}\)-6(x+1)
H(x,y)=\(z_{x}\)x・\(z_{y}\)y-(\(z_{x}\)y\()^{2}\)
=36\(y^{2}\)-12x-12　とおくと
H(0,0)=-12＜0,H(3,\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)2)=24＞0
よってzは(x,y)=H(3,\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)2)で極小となり
極小値は
f(3,\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)2)=-3
計算誤りがあったらすみません。

wakkyさんの解答の通り，偏導関数を利用した方法でテキストに
ほぼ同一の問題があります。これを真似して解くだけです。
(文中に出てくる文字は，テキストで確認してください）

z=f(x,y)=\(x^{2}\)-3(x+1)\(y^{2}\)+3\(y^{4}\) の極値

fx(x,y)=2\(x^{2}\)-3\(y^{2}\)=0　と　fy(x,y)=-6(x+1)y+12\(y^{3}\)　を解くと
(x,y)=(0,0),(3,\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)2)
また
A=fxx(x,y)=2 B=fxy(x,y)=-6y C=fyy(x,y)=36\(y^{2}\)-6(x+1)
であるから

①(x,y)=(0,0)のとき
Δ
=\(B^{2}\)-AC
={fxy(0,0)}^2-fxx(0,0)*fyy(0,0)
=12＞0
より，(0,0)はf(x,y)の極値を与えない。

②(x,y)=(3,\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)2)のとき
以下同様にΔの符号（この場合Aの符号も併せて）から判別してください。