(1)
双曲線の方程式は
\(x^{2}\)－\(y^{2}\)/(\(\frac{1}{a}\)\()^{2}\)＝１だから
f＝\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\){1＋(\(\frac{1}{a}\)\()^{2}\)}＝\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)＋1)/a
f＞1より
f＝\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)＋1)/a・・・（答）

(2)
これは、もっと良い解答があるのかもしれませんが・・
点F1を通り直線L1に垂直な直線をL3とすると
L3の方程式は
y＝－ax＋bとおける
これがF1を通るから
b＝\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)＋1)
従って、L3の方程式は
y＝－ax＋\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)＋1)
（途中計算省略します）
よって
点Qの座標は(0,\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)＋1)）
点Pの座標はL1とL3の交点より
P(a/\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)＋1),1/\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)＋1))
今、点F2の座標を(0,c)とし、
放物線の頂点の座標を(0,d)とすると
放物線の方程式は
\(x^{2}\)＝4(c-d)(y-d)　とおける
yについて整理して微分すると
y'＝x/{2(c-d)}
点Pにおける接線L1の傾きが\(\frac{1}{a}\)だから
c－d＝\(a^{2}\)/{2\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)＋1)}・・・①
また、放物線は点Pを通るから
d＝1/{2\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)＋1)}・・・②
①②より
c＝\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)＋1)/2
よって、F2(0,\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)＋1)/2)となって
F2は線分OQの中点であることが示された。

(3)
△OF1F2の面積をS(a)とすると
S(a)＝(\(\frac{1}{2}\))・{\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)＋1)/a}・{\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)＋1)/2}
　　＝(\(a^{2}\)＋1)/(4a)
　　＝(\(\frac{a}{4}\))＋1/(4a)
a＞0だから、相加平均と相乗平均の関係から
S(a)＝(\(\frac{a}{4}\))＋1/(4a)≧2\(\sqrt{\quad}\){(\(\frac{a}{4}\))･1/(4a)}＝\(\frac{1}{2}\)
等号が成り立つのは
(\(\frac{a}{4}\))＝1/(4a)のときだから、a>0よりa＝1
以上から
S(a)はa＝1のとき最小値\(\frac{1}{2}\)をとる。・・・（答）