たびたびお世話になります。
＜２００７＞の質問からの流れで、
貴雄さんが質問された内容と似たような質問ですが、
ａとｂが平行でない場合、{ａ（ａ1，ａ２），ｂ（ｂ1，ｂ２）と数ベクトルで表されている。}
a1b2－a2b1≠0を導く証明で、
証明
ｂ≠ｋａ⇔(ｂ1，ｂ2)≠ｋ（ａ1，ａ２）
ｂ1≠ｋａ1…① ｂ２≠ｋａ２…②
①×ａ２ ②×ａ１ から
ａ２ｂ1≠kａ1ａ２…③ ａ1ｂ２≠ｋａ１ａ２…④
③と④の右辺が一致することより、ａ1ｂ2≠ａ2b1
よってａ1ｂ2－ａ2ｂ1≠0
証明おわり
としたのですが、きちんと証明されていないと指摘されました。
どの部分があいまいで、どのように証明すればよいのか、ぜひ教えてください。
★完全解答希望★
ｂ≠ｋａ⇔(ｂ1，ｂ2)≠ｋ（ａ1，ａ２）
ｂ1≠ｋａ1…① ｂ２≠ｋａ２…②
①×ａ２ ②×ａ１ から
ａ２ｂ1≠kａ1ａ２…③ ａ1ｂ２≠ｋａ１ａ２…④
③と④の右辺が一致することより、ａ1ｂ2≠ａ2b1
よってａ1ｂ2－ａ2ｂ1≠0
証明おわり
この証明が間違っている理由は
証明の１行目から、２行目に行くときに
b1≠ka1 ∧ b2≠ka2 としていることです。
正しくは、
b1≠ka1 ∨ b2≠ka2です。
飛鳥涼さんの方針で証明しようと思います。
それと、a≠0 ∧ b≠0 と言う条件が足りないと思うのですが。
勝手につけたさせていただきます。あるいは、２つのベクトルが平行でないという
条件がそれを意味しているのかもしれませんが。
(証明）
b≠ka ∧ k≠0
⇔「b1≠ka1 ∨ b2≠ka2」∧ k≠0
⇔『「b1≠ka1 ∧ b2≠ka2」ではない』 ∧ k≠0
⇔「ka1b2=ka2b1ではない」 ∧ k≠0
⇔a1b2-a2b1=0ではない
⇔a1b2-a2b1≠0