質問中に
ｇ。ｆ＝im f。ｇ＝in
とありますが、これが何なのか不明です。まずは、問題を明確にして、下さい。

gof が M から M への恒等写像，fog が N から N への恒等写像，
ということだと思います。

全単射とは，全射かつ単射であるということです。

恒等写像は必ず全単射です。ですから，gof も fog も全単射です。
そこで，特に gof が全射で fog が単射であるという性質に着目したのだと思います。