この前はどうも有難うございました。
おかげさまで難なく理解する事が出来ました。
今回は、今週の週末課題として出されているプリントからの出題なんで
すけど、毎週月曜日に週テストというものがあり、80点未満は再テスト
を受けなければならないというとてもおっかないものがあります。
ずっと考えてみても、全然理解できません。
で、質問は２問あります。
１、平面上の３点Ｐ1(0,0）,Ｐ2(4,0）,Ｐ3(0,3）を
中心として、半径がそれぞれr1,r2,r3の3つの円があり
、どの2円もちょうど1つの共有点をもっている。
このような半径の組（r1,r2,r3）をすべて求めよ。
２、２辺の長さが１と２の長方形と１辺の長さが２の
正方形の２種類のタイルがある。縦２、横ｎの長方形の
部屋をこれらのタイルで過不足なく敷きつめることを考える。
そのような並べ方の総数をＡnで表す。ただしｎは正の整数である。
たとえば、Ａ1＝１,Ａ2＝３，である。次の問いに答えよ。
(1)Ａ3を求めよ。
(2）ｎ≧３のとき、ＡｎをＡn-1，Ａn-2を用いて表せ。
(3）Ａnをｎで表せ。
考えたんですけど、全然分かりません。
宜しくお願いします。
問１
直角三角形の３辺の比３：４：５より、斜辺は５となる。
考えられる３円は、上の４通りの図のようになるので、それぞれ連立を
解いて、
｛ｒ1 ＋ｒ2 ＝４
｛ｒ1 ＋ｒ3 ＝３
｛ｒ2 ＋ｒ3 ＝５
より、ｒ1 ＝１，ｒ2 ＝３，ｒ3 ＝２
｛ｒ1 －ｒ2 ＝４
｛ｒ1 －ｒ3 ＝３
｛ｒ2 ＋ｒ3 ＝５
より、ｒ1 ＝６，ｒ2 ＝２，ｒ3 ＝３
｛ｒ2 －ｒ1 ＝４
｛ｒ1 ＋ｒ3 ＝３
｛ｒ2 －ｒ3 ＝５
より、ｒ1 ＝２，ｒ2 ＝６，ｒ3 ＝１
｛ｒ1 ＋ｒ2 ＝４
｛ｒ3 －ｒ1 ＝３
｛ｒ3 －ｒ2 ＝５
より、ｒ1 ＝３，ｒ2 ＝１，ｒ3 ＝６
したがって、
半径の組（ｒ1 ，ｒ2 ，ｒ3 ）
＝（１，３，２）
＝（６，２，３）
＝（２，６，１）
＝（３，１，６） ……（答）
問２
縦２、横ｎの長方形に上のタイルを敷き詰める問題である。Ａｎはタイル
の並べ方の総数を指すとすると、
したがって、次のような数列ができあがる。第１階差をとると
① ② ③ ④ ⑤
１ ３ ５ １１ ２１
Ｖ Ｖ Ｖ Ｖ Ｖ
２ ２ ６ １０
幻の０番法では出来ない。多分整関数ではなく、指数関数となるのだろう。
いろいろ調べてみると、（多分難しいときは、フィボナッチ数列のような数
列だと見通しをつけて）
２１－１１＝１０＝２・５
１１－ ５＝ ６＝２・３
５－ ３＝ ２＝２・１
Ａn+2－Ａn+1＝２・Ａn
（３項の漸化式）
ただし、Ａ1 ＝１、Ａ2 ＝３
質問＜２７８＞の特性方程式の公式より、
Ａn ＝ρn とおくと、
ρn+2－ρn+1＝２・ρn
ρn+2－ρn+1－２・ρn ＝０
ρn （ρ2 －ρ－２）＝０
特性方程式（ρ2 －ρ－２）＝０より、
（ρ－２）（ρ＋１）＝０
∴ρ＝－１，２
ρ1 ≠ρ2 より、
Ａn ＝Ｃ1 （－１）n ＋Ｃ2 ２n
Ａ1 ＝１より、－Ｃ1 ＋２Ｃ2 ＝１
Ａ2 ＝３より、 Ｃ1 ＋４Ｃ2 ＝３
２式を足すと、６Ｃ2 ＝４
Ｃ2 ＝４／６＝２／３
－Ｃ1 ＋２（２／３）＝１より、Ｃ1 ＝１／３
したがって、
１ ２
Ａn ＝─・（－１）n ＋─・２n
３ ３
（－１）n ＋２n+1
＝───────── ……（答）
３