分からんので(笑)、フリー数式処理ソフトウェアMAXIMA(ウィンドウズ版)を
使って解いてみましょう。早速ダウンロードしてみて下さい。

さて、指示に従ってインストールすると、デスクトップ上にMAXIMAのアイコンが
出来てる筈です。それをダブルクリックすると、

Maxima 5.9.3 http://maxima.sourceforge.net
Using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.7 (aka GCL)
Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING.
Dedicated to the memory of William Schelter.
This is a development version of Maxima. The function bu\(g_{r}\)eport()
provides bug reporting information.
(%i1)

と言った画面が現れる筈です。これで起動成功です。
(%i1)ってのは｢入力待ち｣と言った意味ですね。このアトにコマンドを入力して
MAXIMAに様々な計算をさせるワケです。
さて、MAXIMAの積分コマンドは

integrate(関数、積分したい変数);

です。では(%i1)のアトに問題に従ってコマンドをセミコロン(;)まで入力してみましょう。

(%i1) integrate(exp(\(x^{2}\)/2),x);

アトはリターンキーを押せば計算は完了です。

%i x
sqrt(2) sqrt(%pi) %i erf(-------)
sqrt(2)
(%o1) - ---------------------------------
2

と出力されてきましたね。
書きなおすと次のようになるようです。

－{\(\sqrt{\quad}\)(2π)*i*erf(i*x/\(\sqrt{\quad}\)2)}/2

だそうです。何とまあややこしい(苦笑)。

さて、ところでerfって表記が出てますが、これは一体なんでしょう?
何だったかなあ･･････?忘れてました(笑)。

erfとはError Functionの事で日本語では“誤差関数”と呼びます。ガンマ関数とか
ベータ関数のように定義された“特殊な”関数ですね。
定義はネピア数eを底とした指数関数をexp()と表記するとすれば、次のようになっています。

erf(z)＝2/\(\sqrt{\quad}\)π*∫exp(－\(t^{2}\))dt (積分範囲は0～z)

また近似式はt＝1/(1＋p*z)として、

erf(z)＝1－(a*t＋b*\(t^{2}\)＋c*\(t^{3}\))*exp(－\(z^{2}\))

となるようです。ただし、p＝0.47047、a＝0.3480242、b＝－0.0958798、c＝0.7478556と
言う定数とします。

そう言えば昔、大学で誤差関数習ったような気がするよ。今の今まですっかり忘れてました(笑)。

さて、ではこの誤差関数絡みの問題、

＞もしよければ0～∞の定積分もお願いします。

もMAXIMA使って解いてみましょうか。
区間a～bでの定積分のコマンドも基本的には全く同じで、

integrate(関数、積分したい変数,a,b);

で解く事が出来ます。では新しい入力待ち(%i2)が出てる筈なので、そのアトに
次のようにセミコロン(;)まで入力してみましょう。

(%i2) integrate(exp(\(x^{2}\)/2),x,0,inf);

んでリターンキーを押すと次のような表示が出てくる筈です。

Integral is divergent

“divergent"とは“発散”って意味です。つまり

この積分は発散します。

との事で、計算は出来ないようです。