＞tanθ=\(\frac{4}{3}\)のとき、sinθ-cosθ+sinθcosθ=?の値は？
＞ただし0≦θ≦180とする。
＞どなたか教えてください！

tanθ＝\(\frac{4}{3}\)⇔θ＝arctan(\(\frac{4}{3}\))･･･①

と言うのが同値です。arctan(アークタンジェント)と言うのはタンジェントの逆関数です
ね。
いやいや、黒バラの軍手キャラは関係ありません。
しかもアレは“クレッシェンド君”です(笑)。

とか言う｢ノリツッコミ｣はさておき、フリー数式処理ソフトMAXIMA(ウィンドウズ版)
を利用して解いてみましょう。まずはMAXIMAをダウンロードして下さい。

簡単な英語の指示に従ってインストールすると、デスクトップ上にMAXIMAの
アイコンが作成されている筈です。このアイコンをダブルクリックしてMAXIMAを
起動しましょう。

Maxima 5.9.3 http://maxima.sourceforge.net
Using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.7 (aka GCL)
Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING.
Dedicated to the memory of William Schelter.
This is a development version of Maxima. The function bu\(g_{r}\)eport()
provides bug reporting information.
(%i1)

と言う画面が現れたら起動成功です。
MAXIMAでは(%i1)と言ったプロンプトの後に様々な数式(コマンド)を入力して
計算を実行します。
ではちょっと次のようにセミコロン(;)までコマンドを入力して下さい。

(%i1) t:atan(\(\frac{4}{3}\));

このコマンドは①のアークタンジェントの式そのままです。
意味は次のようになっています。

t:⇒tと言う変数を定義。コロン(:)以下の数式がtとして定義される
atan()⇒アークタンジェントの事。

そしてリターンキーを押すと、

4
(%o1) atan(-)
3

と表示されます。これで変数t＝arctan(\(\frac{4}{3}\))として定義されました。
今度は新しい入力待ちプロンプト(%i2)が表示されていると思います。その後に問題の
数式を次のようにセミコロン(;)まで入力してみましょう。

(%i2) sin(t)-cos(t)+sin(t)*cos(t);

tは既に(%i1)で定義したので、それを利用して計算します。ではリターンキーを押して
みてください。答えが表示される筈です。

ちなみにまた新しい入力の為のプロンプト(%i3)が表示されている筈なんで、次のように
セミコロン(;)まで入力してみましょう。

(%i3) \(\frac{4}{5}\)-\(\frac{3}{5}\)+\(\frac{4}{5}\)*\(\frac{3}{5}\);

リターンキーを押せば････多分(%o2)と同じ数字が返されてくる筈だと思います。
何故でしょうね･･･?ちょっと考えてみて下さい。

ヒントは｢3平方の定理｣です。

tanθ=\(\frac{4}{3}\)から、sinθとcosθがわかればいいですね。
まず
tanθ=\(\frac{4}{3}\)　と　0°≦θ≦180°　から
0°＜θ＜90°（実際は45°＜θ＜90°）
よって、sinθ＞0，cosθ＞0
co\(s^{2}\)θ＝1/(1＋ta\(n^{2}\)θ)＝\(\frac{9}{25}\)
cosθ＞0より　cosθ＝\(\frac{3}{5}\)
sinθ＝tanθ・cosθ＝\(\frac{4}{5}\)
あとは与式に代入するだけですが
ちょっと工夫して
　sinθ-cosθ+sinθcosθ
＝(sinθ－1)(cosθ+1)＋1
＝(-\(\frac{1}{5}\))(\(\frac{8}{5}\))＋1
＝\(\frac{17}{25}\)・・・（答）

tanθ=\(\frac{4}{3}\) かつ　0°≦θ≦180°
であるから、cosθ=\(\frac{3}{5}\),sinθ=\(\frac{4}{5}\)
これは、単位円上にθを tanθ=\(\frac{4}{3}\)　となるように図示すれば、明らかである。
これを、与えられた式に代入すれば

sinθ-cosθ+sinθcosθ=\(\frac{17}{25}\)