この問題では、少し変ですが、常用対数を「log」で表すことにする。

あまり良い解答ではありませんが、一応できました。
f(x)=log(x+a)-logx (a ＞0)とおく。
f(x)=log{1+(\(\frac{a}{x}\))}であるから、f(x)は単調減少である。
つまり、xが大きいほど評価したときの誤差が小さくなる。このことに注目して、
log7を評価するのではなく、
log(\(7^{3}\))=log343を評価する事を考える。

つぎの評価式は、電卓のボタンを押しまくって、見つけたものです。とても手計算では、
不可能だと思います。

(\(2^{10}\))*{3^(-1)}=341.33・・・・=A
(\(2^{35}\))*{10^(-8)}=343.59・・・=B
とおく。

A ＜ \(7^{3}\) ＜ B
logA ＜ log(\(7^{3}\)) ＜ logB
10log2-log3 ＜ log(\(7^{3}\)) ＜ 35log2-8
2.5329 ＜ log(\(7^{3}\)) ＜ 2.535
両辺に259をかけて
656.0211 ＜ 259log(\(7^{3}\)) ＜ 656.565
656.0211 ＜ log(\(7^{777}\)) ＜ 656.565

ゆえに、
1\(0^{656}\)≦ \(7^{777}\) ＜ 1\(0^{657}\)
であるから、求める桁数は657桁である。