「三角関数の積分の応用(?)」 - 質問＜３２６１＞

質問＜３２６１＞

「「三角関数の積分の応用(?)」」

日付

質問者けん

\(\frac{2006}{6}\)/23

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整数m,nに対して,
I_(m,n) = ∫(cos x\()^{m}\) *(sin x\()^{n}\) dx　･･･(a)
を考える｡部分積分法を用いれば次の漸化式が得られる｡

(m+n)I_(m,n)-(m-1)I_(m-2,n) = (sin x)^(n+1) * (cos x)^(m-1) ･･･(b)

(m+n)I_(m,n)-(n-1)I_(m,n-2) = -(sin x)^(n-1) * (cos x)^(m+1) ･･･(c)

\(I_{m}\),n = {1/(n+1)}∫[(sin x)^(n+1)]' * (cos x)^(m-1) dx
を用いて(b)を証明｡
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教えてください。

★完全解答希望★

お便り

日付２００６／７／２

回答者 wakky

どこが疑問なのかよくわかりませんが
要するに
\(I_{m}\),n = {1/(n+1)}∫[(sin x)^(n+1)]' * (cos x)^(m-1) dxを用いて・・
というのは
「部分積分してください」という意味なので
まず、計算に着手してみてください。
多少計算に工夫が必要ですが
書かれている漸化式が得られます。