問１
正弦定理より、
　　　　　ａ　　　　　　ｂ
sinＡ＝───、sinＢ＝──
　　　　２Ｒ　　　　　２Ｒ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＋ｂ
ａ＋ｂ＝２ｃ（sinＡ＋sinＢ）＝２ｃ（─────）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２Ｒ

２Ｒ＝２ｃ　∴ｃ＝Ｒ（外接円の半径）……（答）

問２（１）
　ａ　　　ｂ　　　ｃ
───＝───＝───の左辺と中辺より、
cosＡ　　cosＢ　cosＣ

ａcosＢ＝ｂcosＡ
余弦定理より、
　　ａ² ＋ｃ² －ｂ² 　　　ｂ² ＋ｃ² －ａ²
ａ・────────＝ｂ・────────
　　　　２ａｃ　　　　　　　　２ｂｃ
両辺に２ｃをかけて、
ａ² ＋ｃ² －ｂ² ＝ｂ² ＋ｃ² －ａ²
２ａ² －２ｂ² ＝０
（ａ－ｂ）（ａ＋ｂ）＝０
ａ＋ｂ＞０より、ａ－ｂ＝０
∴ａ＝ｂ……①

続いて、中辺と右辺より、
ｂcosＣ＝ｃcosＢ
余弦定理より、
　　ａ² ＋ｂ² －ｃ² 　　　ａ² ＋ｃ² －ｂ²
ｂ・────────＝ｃ・────────
　　　　２ａｂ　　　　　　　　２ａｃ
両辺に２ａをかけて、
ａ² ＋ｂ² －ｃ² ＝ａ² ＋ｃ² －ｂ²
２ｂ² －２ｃ² ＝０
（ｂ－ｃ）（ｂ＋ｃ）＝０
ｂ＋ｃ＞０より、ｂ－ｃ＝０
∴ｂ＝ｃ……②

①と②より、ａ＝ｂ＝ｃだから、正三角形……（答）

問２（２）
ａ² sinＡ＝ｂ² sinＢ
正弦定理より、
ａ³ 　ｂ³
──＝──
２Ｒ　２Ｒ

ａ³ －ｂ³ ＝０
（ａ－ｂ）（ａ² ＋ａｂ＋ｂ² ）＝０
ａ² ＋ａｂ＋ｂ² ＞０より、
ａ－ｂ＝０
∴ａ＝ｂの二等辺三角形……（答）

問２（３）
sinＡcosＡ＋sinＢcosＢ＝sinＣcosＣ
正弦定理と余弦定理を使って、
　ａ　ｂ² ＋ｃ² －ａ² 　　ｂ　ａ² ＋ｃ² －ｂ² 　　ｃ　ａ² ＋ｂ² －ｃ²
──・────────＋──・────────＝──・────────
２Ｒ　　　２ｂｃ　　　　２Ｒ　　　２ａｃ　　　　２Ｒ　　　２ａｂ
両辺に４Ｒａｂｃをかけて、
ａ² （ｂ² ＋ｃ² －ａ² ）＋ｂ² （ａ² ＋ｃ² －ｂ² ）＝ｃ² （ａ² ＋ｂ² －ｃ² ）
ａ² ｂ² ＋ａ² ｃ² －ａ⁴ ＋ａ² ｂ² ＋ｂ² ｃ² －ｂ⁴ －ａ² ｃ² －ｂ² ｃ² ＋ｃ⁴ ＝０
ａ⁴ ＋ｂ⁴ －ｃ⁴ －２ａ² ｂ² ＝０
（ａ² －ｂ² ）² －ｃ⁴ ＝０
（ａ² －ｂ² －ｃ² ）（ａ² －ｂ² ＋ｃ² ）＝０
ａ² －ｂ² －ｃ² ＝０より、
ａ² ＝ｂ² ＋ｃ²
∴斜辺ａの直角三角形……（答）
または、
ａ² －ｂ² ＋ｃ² ＝０より、
ｂ² ＝ａ² ＋ｃ²
∴斜辺ｂの直角三角形……（答）

問２（４）
ｃａcosＡ－ｃｂcosＢ＝（ａ² －ｂ² ）cosＣ
余弦定理より、
　　　ｂ² ＋ｃ² －ａ² 　　　　ａ² ＋ｃ² －ｂ² 　　　　　　　　　ａ² ＋ｂ² －ｃ²
ｃａ・────────－ｃｂ・────────＝（ａ² －ｂ² ）・────────
　　　　　２ｂｃ　　　　　　　　　２ａｃ　　　　　　　　　　　　　　２ａｂ
両辺に２ａｂをかけて、
ａ² （ｂ² ＋ｃ² －ａ² ）－ｂ² （ａ² ＋ｃ² －ｂ² ）－（ａ² －ｂ² ）（ａ² ＋ｂ² －ｃ² ）＝０
ａ² ｂ² ＋ａ² ｃ² －ａ⁴ －ａ² ｂ² －ｂ² ｃ² ＋ｂ⁴ －ａ⁴ －ａ² ｂ² ＋ａ² ｃ² ＋ａ² ｂ² ＋ｂ⁴ －ｂ² ｃ² ＝０
－２ａ⁴ ＋２ａ² ｃ² －２ｂ² ｃ² ＋２ｂ⁴ ＝０
（ａ⁴ －ｂ⁴ ）－ｃ² （ａ² －ｂ² ）＝０
（ａ² －ｂ² ）（ａ² ＋ｂ² －ｃ² ）＝０
ａ² －ｂ² ＝０より、
（ａ－ｂ）（ａ＋ｂ）＝０
ａ＋ｂ＞０より、ａ－ｂ＝０
∴ａ＝ｂの二等辺三角形……（答）
または、
ａ² ＋ｂ² －ｃ² ＝０より、
ｃ² ＝ａ² ＋ｂ²
∴斜辺ｃの直角三角形……（答）