いろいろなアプローチがあることと思いますが

△ABCの外接円の半径をRとすると
正弦定理から
sinA＝a/(2R)，sinB＝b/(2R)
余弦定理から
cosA＝(\(b^{2}\)＋\(c^{2}\)－\(a^{2}\))/(2bc)
cosB＝(\(c^{2}\)＋\(a^{2}\)－\(b^{2}\))/(2ca)
これらを条件式に代入して整理すると
(\(a^{2}\)－\(b^{2}\))(\(a^{2}\)＋\(b^{2}\)－\(c^{2}\))＝０を得ます。
\(a^{2}\)－\(b^{2}\)＝0　または　\(a^{2}\)＋\(b^{2}\)＝\(c^{2}\)
よって、△ABCは
a＝b（BC＝CA)の二等辺三角形　または
∠C(∠ACB)＝90°の直角三角形