曲線y=\(x^{3}\)上の点Ｐ(t,\(t^{3}\))　(0＜t＜1)をとる。
A(1,1),B(-1,-1),∠BPA=θとする。

(1)tanθをtで表せ。
直線APの傾きは
(\(t^{3}\)-1)/(t-1)=\(t^{2}\)+t+1 (∵t≠1)であり，
tanα=\(t^{2}\)+t+1　とおく．
他方，直線BPの傾きは
(\(t^{3}\)+1)/(t+1)=\(t^{2}\)-t+1 (∵t≠-1)であり，
tanβ=\(t^{2}\)+t+1　とおく．

0＜t＜1より，π/2＜θ＜π　
となるから（APとBPのなす角の補角がθ），←この辺の記述が曖昧です
tanθ
=tan(π-(α-β))
=-tan(α-β)
=-{(\(t^{2}\)+t+1)-(\(t^{2}\)-t+1)}/{1+(\(t^{2}\)+t+1)(\(t^{2}\)-t+1)}
=-2t/(\(t^{4}\)+\(t^{2}\)+2)

(2)θが最小となるときのtの値を求めよ。
このときtanθも最小となるから，
f(t)=-2t/(\(t^{4}\)+\(t^{2}\)+2) とおいて
0＜t＜1の範囲でf(t)の最小値を求めればよい．
f'(t)=(4\(t^{4}\)+2\(t^{2}\)-4)/(\(t^{4}\)+\(t^{2}\)+2)　より
f'(t)=0　となるのは
t=(\(\sqrt{\quad}\)5-1)/2　のときである．
0＜t＜1に注意して増減表を書くと（省略）
t=(\(\sqrt{\quad}\)5-1)/2　のとき最小値をとる．

あんまり自信ありませんので，どなたか検証していただけるとありがたいです．