こーゆーつまらない計算問題はフリー数式処理ソフトMAXIMA for Windowsを
使って解いてしまいましょう。
こう言うのは｢数学｣ではないのです。

MAXIMAをダウンロードして起動したら、積分コマンドintegrateを使って
次のようにセミコロン(;)まで入力してリターンキーを押して下さい。
それで答えを確認してみましょう。
下にコマンドを列挙しておきます。

(1)

integrate(1/(\(x^{2}\)+2*\(x^{2}\)+x+2),x);

(2)

integrate((\(x^{3}\)+2*\(x^{2}\)-2)/(\(x^{2}\)+x-2),x);

(3)

integrate((1+sin(x))/(1+cos(x)),x);

(1)
\(x^{3}\)+2\(x^{2}\)+x+2=(x+2)(\(x^{2}\)+1)より、部分分数分解より
1/{\(x^{3}\)+2\(x^{2}\)+x+2}=\(\frac{1}{5}\)*{1/(x+2) + (-x+2)/(\(x^{2}\)+1)}
とできるので、
∫1/{\(x^{3}\)+2\(x^{2}\)+x+2}dx=\(\frac{1}{5}\)*(log|x+2| -\(\frac{1}{2}\)*log(\(x^{2}\)+1) + 2*Arctan(x)} + C.

(2)\(x^{3}\)+2\(x^{2}\)-2=x(\(x^{2}\)+x-2)+\(x^{2}\)+2x-2より
{\(x^{3}\)+2\(x^{2}\)-2}/(\(x^{2}\)+x-2) =x+(\(x^{2}\)+2x-2)/(\(x^{2}\)+x-2)
=x+1+x/(\(x^{2}\)+x-2)
=x+1+2/{3(x+2)}+1/{3(x-1)}
を使って、
∫{\(x^{3}\)+2(\(x^{2}\))-2}/(\(x^{2}\)+x-2)dx
=∫(x+1+2/{3(x+2)}+1/{3(x-1)})dx
=(\(x^{2}\))/2 + x+(\(\frac{2}{3}\))*log|x+2|+(\(\frac{1}{3}\))*log|x-1| +C.

(3)∫{(1+sinx)/(1+cosx)}dx
=∫{-(1+cosx)'/(1+cosx)+1/(1+cosx)}dx
= - log(1+cosx) + ∫1/(1+cosx)dx
= - log(1+cosx) + A
ここで、tan(\(\frac{x}{2}\))=t と置くと, dx=(2/(1+\(t^{2}\)))dt.
cosx=cos(2(\(\frac{x}{2}\)))=(1-\(t^{2}\))/(1+\(t^{2}\)).
よって,
A=∫1/{1+(1-\(t^{2}\))/(1+\(t^{2}\))}*(2/(1+\(t^{2}\)))dt
=∫dt
= t =tan(\(\frac{x}{2}\)) + C

以上をあわせると、
∫{(1+sinx)/(1+cosx)}dx
= - log(1+cosx) + tan(\(\frac{x}{2}\)) + C.
となる.