m＜n なる自然数 m, n に対し，

S(m,n)=1/\(\sqrt{\quad}\)m+1/\(\sqrt{\quad}\)(m+1)+...+1/\(\sqrt{\quad}\)n

と書くことにします。

電卓を使ってよいのなら，電卓で求めてみた結果，操作に間違いがなければ

1/\(\sqrt{\quad}\)2+1/\(\sqrt{\quad}\)3+1/\(\sqrt{\quad}\)4+1/\(\sqrt{\quad}\)5+1/\(\sqrt{\quad}\)6+1/\(\sqrt{\quad}\)7+1/\(\sqrt{\quad}\)8+1/\(\sqrt{\quad}\)9+1/\(\sqrt{\quad}\)10=4.0209975...

ですので，整数部分は 4 です。
感覚的には「ぎりぎり 4」といったところで，かなりきわどいところですね。

また，定積分の不等式への応用の仕方を知っているならば，S(2,1000) の整数部分を
次のように調べることができます。
自然数 n に対し，実数 x が n≦x＜n+1 の範囲にあれば，

\(\sqrt{\quad}\)n≦\(\sqrt{\quad}\)x＜\(\sqrt{\quad}\)(n+1)

なので，これから

1/\(\sqrt{\quad}\)(n+1)＜1/\(\sqrt{\quad}\)x≦1/\(\sqrt{\quad}\)n

となります。
この両辺を x について n から n+1 まで積分すると

1/\(\sqrt{\quad}\)(n+1)＜∫[n,n+1]dx/\(\sqrt{\quad}\)x≦1/\(\sqrt{\quad}\)n

となり，真ん中の積分は

∫[n,n+1]dx/\(\sqrt{\quad}\)x=2(\(\sqrt{\quad}\)(n+1)-\(\sqrt{\quad}\)n)

なので，

1/\(\sqrt{\quad}\)(n+1)＜2(\(\sqrt{\quad}\)(n+1)-\(\sqrt{\quad}\)n)≦1/\(\sqrt{\quad}\)n

という不等式を得ます。

さて，1/\(\sqrt{\quad}\)(n+1)＜2(\(\sqrt{\quad}\)(n+1)-\(\sqrt{\quad}\)n) の両辺を n=10 から 999 まで辺々加え合わせれば

S(11,1000)＜2(\(\sqrt{\quad}\)1000-\(\sqrt{\quad}\)10)=18\(\sqrt{\quad}\)10=56.920...

となります。（ここでも \(\sqrt{\quad}\)10 の値を電卓で求めています。）

一方，2(\(\sqrt{\quad}\)(n+1)-\(\sqrt{\quad}\)n)≦1/\(\sqrt{\quad}\)n の両辺を n=11 から n=1000 まで辺々足し合わせると

56.643...=2(\(\sqrt{\quad}\)1001-\(\sqrt{\quad}\)11)≦S(11,1000)

となります。以上により，

56.64＜S(11,1000)＜56.93

という不等式を得て，
これと S(2,10)=4.0209... から得られる

4.02＜S(2,10)＜4.03

を併せると，S(2,1000)=S(2,10)+S(11,1000) という関係から

60.66=56.64+4.02＜S(2,1000)＜56.93+4.03=60.96

という不等式を得て，

S(2,1000) の整数部分は 60 という結論を得ます。

こちらも，近似の仕方が不十分なため整数部分が 61 になりかねない微妙なところでの
きわどい判断となりました。