問１
ｆ（ｘ）＝ｘｅ^-x
ｆ（α）＝αｅ^-α
ｆ（β）＝ｆ（２α）＝２αｅ^-2α
ｆ（α）＝ｆ（β）より、
αｅ^-α＝２αｅ^-2α
αｅ^-α（１－２ｅ^-α）＝０
α≠βより、α≠０、ｅ^-α＞０
１－２ｅ^-α＝０
ｅ^-α＝１／２
－α＝ｌｏｇ_e （１／２）
α＝－（－ｌｏｇ_e ２）
　＝ｌｏｇ_e ２
　＝ｌｎ２　……（答）
（ｌｏｇ_e をｌｎと表す）

β＝２α
　＝２ｌｎ２
　＝ｌｎ２²
　＝ｌｎ４……（答）

　β　　　　　　　　ln4
∫　ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫　　ｘｅ^-xｄｘ
　α　　　　　　　　ln2

　　　　　　ln4　　ln4
＝［－ｘｅ^-x］　－∫　（－１・ｅ^-x）ｄｘ
　　　　　　ln2　　ln2

　　　　　　　　　　　　　　　　　ln4
＝－ln4ｅ^-ln4＋ln2ｅ^-ln2＋［－ｅ^-x］
　　　　　　　　　　　　　　　　　ln2

＝－ln4／４＋ln2／２－ｅ^-ln4＋ｅ^-ln2

＝－ln4／４＋ln2／２－１／４＋１／２

＝－ln2／２＋ln2／２－１／４＋２／４

＝１／４……（答）

問２
ｆ（sinθ）＝sin３θ＝３sinθ－４sin³ θ
ｆ（ｘ）＝３ｘ－４ｘ³ ……（答）

ｇ（sinθ）＝sin５θ＝sin３θcos２θ＋cos３θsin２θ
　＝(３sinθ－４sin³ θ)(１－２sin² θ)＋(４cos³ θ－３cosθ)(２sinθcosθ)
　＝３sinθ－６sin³ θ－４sin³ θ＋８sin⁵ θ＋８sinθcos⁴ θ－６sinθcos² θ
　＝３sinθ－１０sin³ θ＋８sin⁵ θ＋８sinθ（１－sin² θ）² －６sinθ（１－sin² θ）
　＝５sinθ－２０sin³ θ＋１６sin⁵ θ
ｇ（ｘ）＝５ｘ－２０ｘ³ ＋１６ｘ⁵ θ……（答）

－１≦ｘ≦１のとき、ｆ（ｘ）＝３ｘ－４ｘ³ がｘ軸と何回
交わるかを調べてみよう。
３ｘ－４ｘ³ ＝０
ｘ（３－４ｘ² ）＝０
∴ｘ＝０または、３－４ｘ² ＝０
３－４ｘ² ＝０を解くと、
４ｘ² ＝３
ｘ² ＝３／４
ｘ＝\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)３／２
\(\sqrt{\quad}\)３／２＜１より、
解は３つある……（答）

　　　\(\frac{1}{2}\)　ｆ（ｘ）・ｇ（ｘ）
Ｉ＝∫　　──────────ｄｘ
　　　-\(\frac{1}{2}\)　\(\sqrt{\quad}\)（１－ｘ² ）

ｘ＝sinθより、
ｄｘ＝cosθｄθ
\(\sqrt{\quad}\)（１－ｘ² ）＝\(\sqrt{\quad}\)（１－sin² θ）＝cosθ

ｘ｜-\(\frac{1}{2}\)　→　\(\frac{1}{2}\)　
──────────
θ｜－π/6→　π/6

　　　π/6　ｆ（sinθ）・ｇ（sinθ）
Ｉ＝∫　　　────────────・cosθｄθ
　　　-π/6　　　　　cosθ

　　　π/6
　＝∫　　　sin３θ・sin５θｄθ
　　　-π/6

　　　π/6　　１
　＝∫　　　－─｛cos８θ－cos（－２θ）｝ｄθ
　　－π/6　　２

　　　１　π/6
　＝－─・∫　　（cos８θ－cos２θ）ｄθ
　　　２　－π/6

　　　１　　　sin８θ　　sin２θ　　π/6
　＝－─・［─────－─────］
　　　２　　　　８　　　　　２　　　－π/6

　　　１　　－\(\sqrt{\quad}\)３　　\(\sqrt{\quad}\)３　　　　\(\sqrt{\quad}\)３　　－\(\sqrt{\quad}\)３
　＝－─｛（────－──）－（────－────）｝
　　　２　　　１６　　　４　　　　１６　　　４

　　\(\sqrt{\quad}\)３　\(\sqrt{\quad}\)３　５\(\sqrt{\quad}\)３
　＝──＋──＝───　……（答）
　　１６　　４　　１６

次に
　　　\(\frac{1}{2}\)　　　｛ｇ（ｘ）｝²
Ｊ＝∫　　──────────ｄｘ
　　　-\(\frac{1}{2}\)　\(\sqrt{\quad}\)（１－ｘ² ）

ｘ＝sinθより、
ｄｘ＝cosθｄθ
\(\sqrt{\quad}\)（１－ｘ² ）＝\(\sqrt{\quad}\)（１－sin² θ）＝cosθ

ｘ｜-\(\frac{1}{2}\)　→　\(\frac{1}{2}\)　
──────────
θ｜－π/6→　π/6

　　　π/6　　｛ｇ（sinθ）｝²
Ｊ＝∫　　　──────────・cosθｄθ
　　　-π/6　　　　　cosθ

　　　π/6
　＝∫　　　（sin５θ）² ｄθ
　　　-π/6

　　　π/6　　１－cos１０θ
　＝∫　　　────────ｄθ
　　－π/6　　　　　２

　　１　　　　　sin１０θ　π/6
　＝─・［θ－──────］
　　２　　　　　　１０　　－π/6

　　１　　π　－\(\sqrt{\quad}\)３　　　　π　\(\sqrt{\quad}\)３
　＝─｛（─－───）－（－─－──）｝
　　２　　６　　２０　　　　６　２０

　　π　\(\sqrt{\quad}\)３
　＝─＋──　……（答）
　　６　２０