1.　∫ (tan x\()^{2}\) dx
=∫(\(\frac{1}{c}\)os^(2)x-1)dx
=tanx-x+C

2.　∫ \(\frac{1}{s}\)in x dx
=∫sin\(\frac{x}{s}\)in^(2)xdx
=∫sinx/(1-cos^(2)x)dx
put cosx=t -sinxdx=dt
=∫1/(\(t^{2}\)-1)dt
=∫{1/(t-1)-1/(t+1)}dt
=略

3. ∫ 1/{x(\(x^{2}\)+9)}dx
1/{x(\(x^{2}\)+9)}を部分分数に分解する．
1/{x(\(x^{2}\)+9)}=(\(\frac{1}{9}\)){\(\frac{1}{x}\)-x/(\(x^{2}\)+9)}
やり方は，
1/{x(\(x^{2}\)+9)}=\(\frac{a}{x}\)+bx/(\(x^{2}\)+9) とおいて，分子の恒等式を解いてa,bを決定
以下略

4. ∫ 1/(1-cos x) dx
=∫{(1+cosx)/sin^(2)x}dx
=∫\(\frac{1}{s}\)in^(2)x+∫cos\(\frac{x}{s}\)in^(2)xdx 後半の積分は上記2.を参照してください．
=-\(\frac{1}{t}\)anx+…

tanx=tとおくやり方もあります．