はじめまして、おっぽと申します。
１≦ｋ≦ｎで、
ｎn
n Ｃk ≦──────
ｋk(n-k)n-k
が成り立つことを帰納法を用いて証明する。
という問題なのですが、流れとしては、
まず、１≦ｋ≦\(\frac{n}{2}\)のとき帰納法を用いて証明し、１≦ｋ≦ｎへ
拡張(?)する(hintより)らしいのですが、解りません。
どうか、解法をおねがいいたします。
はじめまして、おっぽと申します。
１≦ｋ≦ｎで、
ｎn
n Ｃk ≦──────
ｋk(n-k)n-k
が成り立つことを帰納法を用いて証明する。
という問題なのですが、流れとしては、
まず、１≦ｋ≦\(\frac{n}{2}\)のとき帰納法を用いて証明し、１≦ｋ≦ｎへ
拡張(?)する(hintより)らしいのですが、解りません。
どうか、解法をおねがいいたします。
帰納法では出来ませんでしたが、次のようなやり方を考えましたので、
検討してください。
１≦ｋ≦ｎで、（ｎ－ｋ）＝ｐとおくと、ｎ＝ｋ＋ｐ
ｎn （ｋ＋ｐ）n
右辺＝──────＝──────＝※
ｋk (n-k)n-k ｋk ｐn-k
分子の二項定理より、ｒ＝０～ｎ
Σ nＣr ｋr ｐn-r
※＝─────────＝Σ nＣr ｋr-kｐk-r
ｋk ｐn-k
nＣr ≧１、ｋr-k＞０、ｐk-r＞０より、
すべてのｒについて、
nＣr ｋr-kｐk-r＞０がいえる。
ｒ＝ｋの１つだけ取り出して、
※＝Σ nＣr ｋr-kｐk-r≧ nＣk ｋk-kｐk-k
＝ nＣk ｋ0ｐ0＝ nＣk ＝左辺
したがって、
左辺≦右辺