既にテストは終わったとは思いますが、一応答えの形らしきものにはなりました。
ただしご要求に沿った解法ではありませんので、これに満足されなければもう一度再質問をし、
他の回答者にお尋ねになられればと思います。

まず、問題の（１）が書かれていません。実はこれが非常に引っかかります。
どんな問題だったのでしょうか？

（２）「y^(n+2)とy^(n+1)とy^(n)の関係式を導け」
ひょっとしたら（１）の問題は（２）の誘導問題なのではないですか？
回答がつきにくいのはこのあたりに原因があるのかもしれません。
答えを知っていないとかなり無理のある回答ではありますが、以下。
y^(1)=1/(1+\(x^{2}\)) はいいですね？
両辺をさらに微分すると、
y^(2)
=-2x/{(1+\(x^{2}\)\()^{2}\)}
={-2x/(1+\(x^{2}\))}*{1/(1+\(x^{2}\))}
={-2x/(1+\(x^{2}\))}*y^(1) この両辺を(1+\(x^{2}\))倍すると、
(1+\(x^{2}\))*y^(2)=-2x*y^(1)
(1+\(x^{2}\))*y^(2)+2x*y^(1)=0　　…①
これをn回微分すると、例の答えになるわけです。
(1+\(x^{2}\))*y^(n+2)+2(n+1)x*y^(n+1)+n(n+1)y^(n)=0
ここのところがわからなければ、①を１回ずつ微分していけば予想が立つので、
あとは数学的帰納法を使ってもいいでしょう。（この証明は省略します）
試しに少しだけやってみると、まず１回微分は、
(1+\(x^{2}\))*y^(3)+2x*y^(2)+2*y^(1)+2x+y^(2)=0　整理して
１回微分：　(1+\(x^{2}\))*y^(3)+4x*y^(2)+2*y^(1)=0
２回以降は結論のみ。
２回微分：　(1+\(x^{2}\))*y^(4)+6x*y^(3)+6*y^(2)=0
３回微分：　(1+\(x^{2}\))*y^(5)+8x*y^(3)+12*y^(2)=0
とこうしていくと、自ずと予想が立てられます。

この後のマクローリン展開へのもっていき方が、私にもよく分かりません。
ここまできて大変申し訳ないのですが、別の方法を用いて解いてみます。
lxl＜1において、無限等比級数の公式
1/(1+x)=1-x+\(x^{2}\)-\(x^{3}\)…+{(-1\()^{n}\)}*x^(n)+…
が成り立ちます。
lxl＜1のとき、l\(x^{2}\)l＜1なので、この式のxの代わりに\(x^{2}\)を代入すると、
1/(1+x\()^{2}\)=1-\(x^{2}\)+\(x^{4}\)-\(x^{6}\)+…+{(-1\()^{n}\)}*x^(2n)+…
両辺を0からxまで積分して、
∫[0\(\vec{x}\)]{1/(1+x\()^{2}\)}dx=∫[0\(\vec{x}\)]{1-\(x^{2}\)+\(x^{4}\)-\(x^{6}\)+…+{(-1\()^{n}\)}*x^(2n)+…}dx
左辺はarctanxです。右辺は項別に積分していって、
arctanx=x-(\(\frac{1}{3}\))\(x^{3}\)+(\(\frac{1}{5}\))\(x^{5}\)+…+{(-1\()^{n}\)}*{1/(2n+1)}*x^(2n+1)+…
となります。